（ 鲁棒性主成分分析）Robust PCA

很久很久没有写学习笔记了，现在记录一个老知识。

主成分分析，这种方法可以有效的找出数据中最“主要”的元素和结构，去除噪音和冗余，将原有的复杂数据降维，揭示隐藏在复杂数据背后的简单结构。我们知道，最简单的主成分分析方法就是PCA了。从线性代数的角度看，PCA的目标就是使用另一组基去重新描述得到的数据空间。希望在这组新的基下，能尽量揭示原有的数据间的关系。这个维度即最重要的“主元”。PCA的目标就是找到这样的“主元”，最大程度的去除冗余和噪音的干扰。

鲁棒主成分分析（Robust PCA）考虑的是这样一个问题：一般我们的数据矩阵X会包含结构信息，也包含噪声。那么我们可以将这个矩阵分解为两个矩阵相加，一个是低秩的（由于内部有一定的结构信息，造成各行或列间是线性相关的），另一个是稀疏的（由于含有噪声，而噪声是稀疏的），则鲁棒主成分分析可以写成以下的优化问题：

说个应用吧。考虑同一副人脸的多幅图像，如果将每一副人脸图像看成是一个行向量，并将这些向量组成一个矩阵的话，那么可以肯定，理论上，这个矩阵应当是低秩的。但是，由于在实际操作中，每幅图像会受到一定程度的影响，例如遮挡，噪声，光照变化，平移等。这些干扰因素的作用可以看做是一个噪声矩阵的作用。所以我们可以把我们的同一个人脸的多个不同情况下的图片各自拉长一列，然后摆成一个矩阵，对这个矩阵进行低秩和稀疏的分解，就可以得到干净的人脸图像（低秩矩阵）和噪声的矩阵了（稀疏矩阵），例如光照，遮挡等等。至于这个的用途，你懂得。

This website provides MATLAB packages to solve the RPCA optimization problem by different methods. All of the codes are Copyright 2009 Perception and Decision Lab, University of Illinois at Urbana Champaign, and Microsoft Research Asia, Beijing. (For more information: http://perception.csl.illinois.edu/matrix-rank/sample_code.html)