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优化模型的简单分类和求解难度 ：状态转移律 ：第 次渡船上的随从数 ：决策 ：允许决策集合 建模： ：第 次渡船上的商人数 求 ，使 ， 并按转移律由 到 。 建模： 多步决策问题： 模型求解 穷举法：编程上机 图解法 0 1 2 3 1 2 3 y x 状态s=(x,y)：16个格点 允许状态： 10个 点 允许决策： 移动1或2格； k奇，左下移；k偶，右上移。 s1 sn+1 d1 d11 d1,…,d11给出安全渡河方案 评注和思考 规格化方法，易于推广 考虑4名商人各带一随从的情况 例4 某人平时下班总是按预定时间到达某处，然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子。这一天，他比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时间析 提前的十分钟时间从何而来合点 相遇点 家 5分钟 5:30 5:35 由相遇点到会合点需开几分钟遇时他已步行了多少分钟思考：本题解答中隐含了哪些假设条件备技能 数学知识 分析、代数、几何、概率、统计、优化、方程… 软件使用 Matlab, Mathematica, Maple, Lindo, Lingo… 编程：C/C++ 第二部分 数学规划模型 数学规划的一般模型 min f (x) s.t. hi(x)=0, i=1, …, m gp(x)≥0, p=1, …, t f(x), hi(x)( i=1, …, m), gp(x)( p=1, …, t)均是定义在En上的实函数。 x=(x1, …, xn)T: 决策变量 f (x): 目标函数, hi(x), gp(x): 约束函数 数学规划的一般模型 min f (x) s.t. hi(x)=0, i=1, …, m gp(x)≥0, p=1, …, t 若f(x), hi(x)( i=1, …, m), gp(x)( p=1, …, t)均为线性函数，则问题(MP)就被称为线性规划问题。 线性规划问题：求多变量线性函数在线性约束条件下的最优值。 (MP) 数学规划的简单分类 线性规划(LP) 目标和约束均为线性函数 非线性规划(NLP) 目标或约束中存在非线性函数 二次规划(QP) 目标为二次函数、约束为线性 整数规划(IP) 决策变量(全部或部分)为整数 整数线性规划(ILP)，整数非线性规划(INLP) 纯整数规划(PIP), 混合整数规划(MIP) 一般整数规划，0-1(整数)规划 连续优化 离散优化 优化 线性规划 非线性规划 二次规划 连续优化 整数规划 问题求解的难度增加 线性规划问题的标准形式 min c1x1+c2x2+…+cnxn s.t. a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2 ………………………… am1x1+am2x2+…+amnxn=bm x1, x2, …, xn≥0 其中cj, bi, aij 均为实常数。 任意线性规划问题可化为标准形式。 线性规划问题标准化 目标函数标准化 max z=min (-z) 约束条件标准化 假设约束条件中有不等式约束 ai1x1+ai2x2+…+ainxn≥bi 引入新变量 xn+1(称为松弛变量), 则上式等价于 ai1x1+ai2x2+…+ainxn+xn+1=bi, xn+1 ≥0 线性规划问题标准化 自由变量标准化 若变量 xj 无约束,可引入两个新变量xj’, xj” 故以下只考虑标准形式，也可用矩阵形式表示为 min z=c’ x s.t. Ax=b x≥0 令 xj =xj’- xj”， xj’, xj” ≥0 数学规划的一般模型 min f (x)

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