matlab恶狼追兔问题,饿狼追兔问题-数学建模.doc

实 验 告

专业：美术 班级：(1)班 指导老师：牛老师

姓名：某某某 学 ：123456789 实验室：110

实验名称： 饿狼追兔问题 时间：2012年10

一、实验目的及要求

理解二阶微分法在建模过程中的应用，熟悉利用MATLAB软件求解微分方程的方法。注意模型的普遍性和模型的广泛性

二、问题的分析

现有一只兔子、一匹狼，兔子位于狼的正西100米处，假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子。已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。问兔子能否安全回到巢穴p>

(1)分析饿狼追野兔的运动模型。饿狼追野兔过程中，野兔的目的是要在饿狼捉住自己之前跑到自己的巢穴，假如恶狼知道野兔巢穴的具体位置，根据题目所给，饿狼完全可以先兔子跑到其巢穴，然后在那里守株待兔，野兔则难逃饿狼之口。那样饿狼的轨迹就是一条直线，只需简单的数学计算就可以完成。

(2)但这是一个理想化的实际问题，在这个问题中由于饿狼不可能知道兔子巢穴的具体位置，因此它的速度的方向永远是朝着兔子的，兔子一直向北跑，相对于饿狼来说兔的角度在时刻的变化，所以最终饿狼的轨迹是一条曲线。而兔子能否活下来，还是一个需要经过具体较复杂计算的问题。

三、模型的建立与求解

初始时刻(t=0)兔子位于原点(0,0)，饿狼位于(100,0)；兔子以常速度v0沿y轴跑，饿狼在t时刻的位置为(x,y)，其速度为v1=2v0；饿狼在追兔子过程中一直向着兔子的方向，则：

饿狼在t时刻其追赶曲线的切线方程为

Y-y=(dy/dx)*(X-x)=[(dy/dt)/(dx/dt)]*(X-x)

其中(X,Y)为切线上动点。

又饿狼在追兔子过程中一直向着兔子的方向，则t时刻兔子(0,v0t)在切线上，所以v0t-y=[(dy/dt)/(dx/dt)]*(0-x)

从而饿狼追赶轨迹由下方程组确定

(dx/dt)*( v0t-y)= (dy/dt)*(-x) (1)

(dx/dt)2+(dy/dt)2=v12 (2)

由(1)有(dy/dx)*(-x)= v0t-y，两边对t求导并化简

(d2y/dx2)* (dx/dt) *(-x)= v0 (3)

由(2)有 (dx/dt)2{1+[(dy/dt)/(dx/dt)]2}=v12

即dx/dt=-v1/[1+(dy/dx)2]1/2 (注这里取负 ，是由这个追赶曲线——上图，决定的)

代入(3)，并把v1=2v0代入并化简得

(d2y/dx2)*x=[1+(dy/dx)2]1/2/2 (4)

这是一个二阶微分方程，它满足初始条件y(100)=0

令p= dy/dx，这dp/dx= d2y/dx2，这(4)化为

(dp/dx)*x=[1+p2]1/2/2，可分离变量求得

ln{p+[1+p2]1/2/2

又p(100)=0，所以c=-ln10，从而

p+[1+p2]1/2/2=x1/2/10

这p=( x1/2/10-10/x1/2)/2

即dy/dx=( x1/2/10-10/x1/2)/2，从而

y=(x-300)*x1/2/30+c，又y(100)=0

则

y=(x-300)*x1/2/30+200/3

令x=0，得

y(0)=200/3>60

故兔子没有有危险

常微分方程高阶初值问题的MATLAB库函数为：ode45。

语法为：[t,Y] =ode45(odefun,tspan,y0)

例如函数： function dy = rigid(t,y)

dy = zeros(3,1); % a column vector

dy(1) = y(2) * y(3);

dy(2) = -y(1) * y(3);

dy(3) = -0.51 * y(1) * y(2);

设置选项：

options = odeset(‘RelTol’,1e-4,’AbsTol’,[1e-4 1e-4 1e-5]);

求解得：

[t,Y] = ode45(@rigid,[0 12],[0 1 1],options);

画出解函数曲线图形：

plot(T,Y(:,1),’-‘,T,Y(:,2),’-.’,T,Y(:,3),’.’)

但是我们决定不用题目中给的函数，而是采用另一个函数：

r = dsolve(‘eq1,eq2,…’, ‘cond1,cond2,…’, ‘v’)，这个函数的作用是把常微分方程(无论是一阶还是高阶)转化成不带有求导的一般性方程，但是一般情况下经过这种函数转化之后，得到

相关资源：兔子IPV4.3简体中文官方版–其它代码类资源–CSDN文库