求解偏微分方程开源有限元软件deal.II学习–Step 2

Posted on 2016-08-04   |   In computational material science   |   暂无评论

引子

在step1中创建了 格，下面就是在 格上定义自由度。此例中使用一阶线性有限元，其自由度的个数与 格的顶点数相关。后面的例子将展示更高次的单元，其上面的自由度与顶点、边、面及cell都有关。
自由度可以理解为形函数中的系数个数，因为它们是未知的，所以称之为未知量或自由度。
定义 格上的自由度很简单，因为deal.II已经内置该功能了，唯一要做的是创建有限元空间。

头文件

该头文件将自由度与顶点、线、cell联系起来。

该头文件包含双线性有限元的描述，即只在顶点上有自由度，在边上和cell内部无自由度。

该头文件包含对自由度的操作工具。

产生 格

这里用了step-1中的方法，只不过这里将 格triangulation作为参数返回，同时将manifold object声明为static，防止其过早销毁：

创建DoFHandler

目前为止，只创建了一个 格，包含几何信息(顶点的位置)和拓扑信息(顶点怎样连成线，线连成cell，cell之间怎样连接)。为了执行数值运算，还需要一些逻辑信息，比如将自由度赋给顶点，创建矩阵和矢量，用来描述 格上的场量。
首先描述自由度是如何分布的。这里使用类模板FE_Q来创建拉格朗日单元，它的成员函数需要一个参数来描述单元的多项式次数，此处是1,表明是双线性单元，也就意味着自由度只在顶点上。如果参数是3,那么意味着是双三次单元，自由度分布为：每个顶点上一个，每条边上两个，每个cell内有四个。
示意图为：
对于Q1单元：

对自由度重新编

上面的结果可以看出，非0元素离对角线很远。对于有些算法，如不完全LU分解和Gauss-Seidel预条件子，这样的分布不好，因此需要改进。
注意：对于矩阵中非0的元素(i，j)，对应的形函数i和j必须相交，而此时其所在的顶点需要相邻，因此，同一个cell内顶点的编 不能差太多才行。这可以通过一种简单的步进方法实现：首先给定一个顶点标识为0,然后对它的邻居连续标 。这里使用的是Cuthill_Mckee提出的方法：

结果为：

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