matlab反拉氏变换,matlab拉普拉斯变换.doc

实验六 拉普拉斯变换及其逆变换

一、目的

(1)掌握连续系统及信 拉普拉斯变换概念

(2)掌握利用MATLAB绘制系统零极点图的方法

(3)掌握利用MATLAB求解拉普拉斯逆变换的方法

二、拉普拉斯变换曲面图的绘制

连续时间信 的拉普拉斯变换定义为:

(6-1)

其中，若以为横坐标(实轴)，为纵坐标(虚轴)，复变量就构成了一个复平面，称为平面。

显然，是复变量的复函数，为了便于理解和分析随的变化规律，可以将写成：

(6-2)

其中，称为复信 的模，而则为的幅角。

从三维几何空间的角度来看，和对应着复平面上的两个平面，如果能绘出它们的三维曲面图，就可以直观地分析连续信 的拉普拉斯变换随复变量的变化规律。

上述过程可以利用MATLAB的三维绘图功能实现。现在考虑如何利用MATLAB来绘制平面的有限区域上连续信 的拉普拉斯变换的曲面图，现以简单的阶跃信 为例说明实现过程。

我们知道，对于阶跃信 ，其拉普拉斯变换为。首先，利用两个向量来确定绘制曲面图的平面的横、纵坐标的范围。例如可定义绘制曲面图的横坐标范围向量x1和纵坐标范围向量y1分别为：

x1=-0.2:0.03:0.2;

y1=-0.2:0.03:0.2;

然后再调用meshgrid()函数产生矩阵s，并用该矩阵来表示绘制曲面图的复平面区域，对应的MATLAB命令如下：

[x,y]=meshgrid(x1,y1);

s=x+i*y;

上述命令产生的矩阵包含了复平面， 范围内以时间间隔0.03取样的所有样点。

最后再计算出信 拉普拉斯变换在复平面的这些样点上的值，即可用函数mesh()绘出其曲面图，对应命令为：

fs=abs(1./s);

mesh(x,y,fs);

surf(x,y,fs);

title(‘单位阶跃信 拉氏变换曲面图’);

colormap(hsv);

axis([-0.2,0.2,-0.2,0.2,0.2,60]);

rotate3d;

执行上述命令后，绘制的单位阶跃信 拉普拉斯变换曲面图如图6-1所示。

例6-1：已知连续时间信 ，求出该信 的拉普拉斯变换，并利用MATLAB绘制拉普拉斯变换的曲面图。

解：该信 的拉普拉斯变换为：

利用上面介绍的方法来绘制单边正弦信 拉普拉斯变换的曲面图，实现过程如下：

%绘制单边正弦信 拉普拉斯变换曲面图程序

clf;

a=-0.5:0.08:0.5;

b=-1.99:0.08:1.99;

[a,b]=meshgrid(a,b);

d=ones(size(a));

c=a+i*b;%确定绘制曲面图的复平面区域

c=c.*c;

c=c+d;

c=1./c;

c=abs(c);%计算拉普拉斯变换的样值

mesh(a,b,c);%绘制曲面图

surf(a,b,c);

axis([-0.5,0.5,-2,2,0,15]);

title(‘单边正弦信 拉氏变换曲面图’);

colormap(hsv);

上述程序运行结果如图6-2所示。

二、由拉普拉斯曲面图观察频域与复频域的关系

如果信 的拉普拉斯变换的极点均位于平面左半平面，则信 的傅立叶变换与存在如下关系：

(6-3)

即在信 的拉普拉斯变换中令，就可得到信 的傅立叶变换。从三维几何空间角度来看，信 的傅立叶变换就是其拉普拉斯变换曲面图中虚轴所对应的曲线。可以通过将曲面图在虚轴上进行剖面来直观的观察信 拉普拉斯变换与其傅立叶变换的对应关系。

例6-2：试利用MATLAB绘制信 的拉普拉斯变换的曲面图，观察曲面图在虚轴剖面上的曲线，并将其与信 傅立叶变换绘制的幅度频谱相比较。

解：根据拉普拉斯变换和傅立叶变换定义和性质，可求得该信 的拉普拉斯变换和傅立叶变换如下：

利用前面介绍的方法绘制拉普拉斯变换曲面图。为了更好地观察曲面图在虚轴剖面上的曲线，定义绘制曲面图的S平面实轴范围从0开始，并用view函数来调整观察视角。实现命令如下：

clf;

a=-0:0.1:5;

b=-20:0.1:20;

[a,b]=meshgrid(a,b);

c=a+i*b;%确定绘图区域

c=1./((c+1).*(c+1)+1);

c=abs(c);%计算拉普拉斯变换

mesh(a,b,c);%绘制曲面图

surf(a,b,c);

view(-60,20)%调整观察视角

axis([-0,5,-20,20,0,0.5]);

title(‘拉普拉斯变换(S域像函数)’);

col

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