前言
C++是一种计算机高级程序设计语言，由C语言扩展升级而产生 ，最早于1979年由本贾尼·斯特劳斯特卢普在AT&T贝尔工作室研发。
C++既可以进行C语言的过程化程序设计，又可以进行以抽象数据类型为特点的基于对象的程序设计，还可以进行以继承和多态为特点的面向对象的程序设计。C++擅长面向对象程序设计的同时，还可以进行基于过程的程序设计。
C++拥有计算机运行的实用性特征，同时还致力于提高大规模程序的编程质量与程序设计语言的问题描述能力。
Java是一门面向对象的编程语言，不仅吸收了C++语言的各种优点，还摒弃了C++里难以理解的多继承、指针等概念，因此Java语言具有功能强大和简单易用两个特征。Java语言作为静态面向对象编程语言的代表，极好地实现了面向对象理论，允许程序员以优雅的思维方式进行复杂的编程 。
Java具有简单性、面向对象、分布式、健壮性、安全性、平台独立与可移植性、多线程、动态性等特点 。Java可以编写桌面应用程序、Web应用程序、分布式系统和嵌入式系统应用程序等 。
Python由荷兰数学和计算机科学研究学会的吉多·范罗苏姆 于1990 年代初设计，作为一门叫做ABC语言的替代品。Python提供了高效的高级数据结构，还能简单有效地面向对象编程。Python语法和动态类型，以及解释型语言的本质，使它成为多数平台上写脚本和快速开发应用的编程语言，随着版本的不断更新和语言新功能的添加，逐渐被用于独立的、大型项目的开发。
Python解释器易于扩展，可以使用C语言或C++（或者其他可以通过C调用的语言）扩展新的功能和数据类型。Python 也可用于可定制化软件中的扩展程序语言。Python丰富的标准库，提供了适用于各个主要系统平台的源码或机器码。
2021年10月，语言流行指数的编译器Tiobe将Python加冕为最受欢迎的编程语言，20年来首次将其置于Java、C和JavaScript之上。
描述
两位玩家分别扮演猫和老鼠，在一张 无向 图上进行游戏，两人轮流行动。
图的形式是：graph[a] 是一个列表，由满足 ab 是图中的一条边的所有节点 b 组成。
老鼠从节点 1 开始，第一个出发；猫从节点 2 开始，第二个出发。在节点 0 处有一个洞。
在每个玩家的行动中，他们 必须 沿着图中与所在当前位置连通的一条边移动。例如，如果老鼠在节点 1 ，那么它必须移动到 graph[1] 中的任一节点。
此外，猫无法移动到洞中（节点 0）。
然后，游戏在出现以下三种情形之一时结束：
如果猫和老鼠出现在同一个节点，猫获胜。
如果老鼠到达洞中，老鼠获胜。
如果某一位置重复出现（即，玩家的位置和移动顺序都与上一次行动相同），游戏平局。
给你一张图 graph ，并假设两位玩家都都以最佳状态参与游戏：
如果老鼠获胜，则返回 1；
如果猫获胜，则返回 2；
如果平局，则返回 0 。
示例 1：
输入：graph = [[2,5],[3],[0,4,5],[1,4,5],[2,3],[0,2,3]]
输出：0
示例 2：
输入：graph = [[1,3],[0],[3],[0,2]]
输出：1
提示：
3 1 0 graph[i][j] != i
graph[i] 互不相同
猫和老鼠在游戏中总是移动
前言
博弈知识介绍
这道题是博弈问题，猫和老鼠都按照最优策略参与游戏。
在阐述具体解法之前，首先介绍博弈问题中的三个概念：必胜状态、必败状态与必和状态。
对于特定状态，如果游戏已经结束，则根据结束时的状态决定必胜状态、必败状态与必和状态。
如果分出胜负，则该特定状态对于获胜方为必胜状态，对于落败方为必败状态。
如果是平局，则该特定状态对于双方都为必和状态。
从特定状态开始，如果存在一种操作将状态变成必败状态，则当前玩家可以选择该操作，将必败状态留给对方玩家，因此该特定状态对于当前玩家为必胜状态。
从特定状态开始，如果所有操作都会将状态变成必胜状态，则无论当前玩家选择哪种操作，都会将必胜状态留给对方玩家，因此该特定状态对于当前玩家为必败状态。
从特定状态开始，如果任何操作都不能将状态变成必败状态，但是存在一种操作将状态变成必和状态，则当前玩家可以选择该操作，将必和状态留给对方玩家，因此该特定状态对于双方玩家都为必和状态。
对于每个玩家，最优策略如下：
争取将必胜状态留给自己，将必败状态留给对方玩家。
在自己无法到达必胜状态的情况下，争取将必和状态留给自己。
自顶向下动态规划解法介绍
博弈问题通常可以使用动态规划求解。这道题由于数据规模的原因，动态规划方法不适用，因此只是介绍。
使用三维数组 dptextit{dp}dp 表示状态，dp[mouse][cat][turns]textit{dp}[textit{mouse}][textit{cat}][textit{turns}]dp[mouse][cat][turns] 表示从老鼠位于节点 mousetextit{mouse}mouse、猫位于节点 cattextit{cat}cat、游戏已经进行了 turnstextit{turns}turns 轮的状态开始，猫和老鼠都按照最优策略的情况下的游戏结果。假设图中的节点数是 nnn，则有 0≤mouse,cat
由于游戏的初始状态是老鼠位于节点 111，猫位于节点 222，因此 dp[1][2][0]textit{dp}[1][2][0]dp[1][2][0] 为从初始状态开始的游戏结果。
动态规划的边界条件为可以直接得到游戏结果的状态，包括以下三种状态：
如果 mouse=0textit{mouse} = 0mouse=0，老鼠躲入洞里，则老鼠获胜，因此对于任意 cattextit{cat}cat 和 turnstextit{turns}turns 都有 dp[0][cat][turns]=1textit{dp}[0][textit{cat}][textit{turns}] = 1dp[0][cat][turns]=1，该状态为老鼠的必胜状态，猫的必败状态。
如果 cat=mousetextit{cat} = textit{mouse}cat=mouse，猫和老鼠占据相同的节点，则猫获胜，因此当 cat=mousetextit{cat} = textit{mouse}cat=mouse 时，对于任意 mousetextit{mouse}mouse、cattextit{cat}cat 和 turnstextit{turns}turns 都有 dp[mouse][cat][turns]=2textit{dp}[textit{mouse}][textit{cat}][textit{turns}] = 2dp[mouse][cat][turns]=2，该状态为老鼠的必败状态，猫的必胜状态。注意猫不能移动到节点 000，因此当 mouse=0textit{mouse} = 0mouse=0 时，一定有 cat≠mousetextit{cat} ne textit{mouse}cat?=mouse。
如果 turns≥2n(n?1)textit{turns} ge 2n(n – 1)turns≥2n(n?1)，则是平局，该状态为双方的必和状态。
由于游戏中的每个局面由老鼠的位置、猫的位置和轮到移动的一方三个因素确定，老鼠可能的位置数是 nnn，因此猫可能的位置数是 n?1n – 1n?1（由于猫不能移动到节点 000），轮到移动的一方有 222 种可能，因此游戏中所有可能的局面数是 2n(n?1)2n(n – 1)2n(n?1)。
根据抽屉原理可知，当游戏进行了 2n(n?1)2n(n – 1)2n(n?1) 轮时，一定存在至少一个猫和老鼠重复经过的局面。由于猫和老鼠都按照最优策略参与游戏，对于同一个局面，游戏结果是相同的。
考虑该重复经过的局面。从该局面开始，双方按照最优策略移动，结果只能回到该局面，任何一方都无法让己方到达必胜状态，让对方到达必败状态，因此该状态对于双方都不是必胜状态，只能是必和状态。
如果该重复经过的局面和初始局面相同，则初始局面即为双方的必和状态。如果该重复经过的局面和初始局面不同，则从初始局面开始，双方按照最优策略移动，结果只能到达双方的必和状态，任何一方都无法让己方到达必胜状态，让对方到达必败状态，因此初始局面对于双方都不是必胜状态，只能是必和状态。
综上所述，如果游戏进行了 2n(n?1)2n(n – 1)2n(n?1) 轮还没有任何一方获胜，则是平局。
动态规划的状态转移需要考虑当前玩家所有可能的移动，选择最优策略的移动。
由于老鼠先开始移动，猫后开始移动，因此可以根据游戏已经进行的轮数 turnstextit{turns}turns 的奇偶性决定当前轮到的玩家，当 turnstextit{turns}turns 是偶数时轮到老鼠移动，当 turnstextit{turns}turns 是奇数时轮到猫移动。
如果轮到老鼠移动，则对于老鼠从当前节点移动一次之后可能到达的每个节点，进行如下操作：
如果存在一个节点，老鼠到达该节点之后，老鼠可以获胜，则老鼠到达该节点之后的状态为老鼠的必胜状态，猫的必败状态，因此在老鼠移动之前的当前状态为老鼠的必胜状态。
如果老鼠到达任何节点之后的状态都不是老鼠的必胜状态，但是存在一个节点，老鼠到达该节点之后，结果是平局，则老鼠到达该节点之后的状态为双方的必和状态，因此在老鼠移动之前的当前状态为双方的必和状态。
如果老鼠到达任何节点之后的状态都不是老鼠的必胜状态或必和状态，则老鼠到达任何节点之后的状态都为老鼠的必败状态，猫的必胜状态，因此在老鼠移动之前的当前状态为老鼠的必败状态。
如果轮到猫移动，则对于猫从当前节点移动一次之后可能到达的每个节点，进行如下操作：
如果存在一个节点，猫到达该节点之后，猫可以获胜，则猫到达该节点之后的状态为猫的必胜状态，老鼠的必败状态，因此在猫移动之前的当前状态为猫的必胜状态。
如果猫到达任何节点之后的状态都不是猫的必胜状态，但是存在一个节点，猫到达该节点之后，结果是平局，则猫到达该节点之后的状态为双方的必和状态，因此在猫移动之前的当前状态为双方的必和状态。
如果猫到达任何节点之后的状态都不是猫的必胜状态或必和状态，则猫到达任何节点之后的状态都为猫的必败状态，老鼠的必胜状态，因此在猫移动之前的当前状态为猫的必败状态。
实现方面，由于双方移动的策略相似，因此可以使用一个函数实现移动策略，根据游戏已经进行的轮数的奇偶性决定当前轮到的玩家。对于特定玩家的移动，实现方法如下：
如果当前玩家存在一种移动方法到达非必败状态，则用该状态更新游戏结果。
如果该移动方法到达必胜状态，则将当前状态（移动前的状态）设为必胜状态，结束遍历其他可能的移动。
如果该移动方法到达必和状态，则将当前状态（移动前的状态）设为必和状态，继续遍历其他可能的移动，因为可能存在到达必胜状态的移动方法。
如果当前玩家的任何移动方法都到达必败状态，则将当前状态（移动前的状态）设为必败状态。
由于老鼠可能的位置有 nnn 个，猫可能的位置有 n?1n – 1n?1 个，游戏轮数最大为 2n(n?1)2n(n – 1)2n(n?1)，因此动态规划的状态数是 O(n4)O(n^4)O(n4)，对于每个状态需要 O(n)O(n)O(n) 的时间计算状态值，因此总时间复杂度是 O(n5)O(n^5)O(n5)，该时间复杂度会超出时间限制，因此自顶向下的动态规划不适用于这道题。以下代码为自顶向下的动态规划的实现，仅供读者参考。
文章知识点与官方知识档案匹配，可进一步学习相关知识Java技能树首页概览93567 人正在系统学习中
声明：本站部分文章及图片源自用户投稿，如本站任何资料有侵权请您尽早请联系jinwei@zod.com.cn进行处理,非常感谢！