SOS—操弄对称的相似原理 (上)

对 称

寰宇无形亦有形

古来人物若繁星

高低美丑芳千万

莫不虔诚对称听

00

编者按

我们不知王鹏先生是否是一位物理人、其此类推广是不是有天理，但“对称性是天理”这样的论点让这篇译文有了开始的意涵。这篇译文，乃译者李翔博士根据国际凝聚态物理知名学者 Sang-Wook Cheong 最近发表在 npj Quantum Materials 4, 53 (2019) 上的一篇文章“SOS: symmetry-operational similarity”意译而成，分为上下两篇。全文贯注了译者自身的诸多理解与发挥，因此不仅仅是对原文的直译。

图1. 对称性就是天理。

https://i.ytimg.com/vi/X6HobTJ2jnk/maxresdefault.jpg

https://www.youtube.com/watch?v=X6HobTJ2jnk

01

引子

自古以来，人类对自然界中许多事物所展现的对称性痴迷不已。早在公元前的西汉时代，《韩诗外传》就指出：“凡草木花多五出，雪花独六出”。这似乎是有史以来第一次思考雪花对称性之独特的记载。几千年来，人们在各种建筑物、文化符 (如太极图)、手工艺品及装饰图案等中引入了许多对称性概念，并且人体本身也包含着大量的对称元素和对称美的考量。不过，我们今天要讲的内容，却是要“打破”这种对称性。例如，在忽略一些细节时，左右手实际上是镜面对称的。假如不幸左手食指上出现一道难以恢复的巨大伤疤，此时，就称这一镜面对称性破缺了。或者，我们小心翼翼地除去雪花一角，它的六重旋转对称性也破缺了。虽然这种破缺可能是美学所忌讳的，但对称破缺阐释了生活及物理中最本质的意向：只有对称破缺的，才是丰富多彩的。当某件事、某件物过于对称和美丽时，可能破缺就要降临了。

02

非互易性与SOS原理

2.1 非互易性

想必大家对 p–n 结中的二极管效应非常熟悉。它最基本的功能就是对电流的“正向通过，反向阻断”。其实，二极管效应还有一个更“高大上”的名字——非互易性电荷输运。电荷输运容易理解，就是电子 (或空穴) 在电场下的流动。

非互易性在物理学中的解释是：对于一个对象，如果沿一个方向的运动行为与其沿反方向的运动行为有所不同，这一过程称为非互易方向二色性，或简称为非互易效应 [7-9] [译者注：为了简化描述，后文将称这两种相反的运动行为是相互对立的，无论其互易与否。同时，由于这些运动行为通常由实验所观测，也可称之为不同的实验情况]。这里，所谓的对象，不仅可以是上述二极管效应中的电子，也可以是声子、自旋波、晶体中的光。

从对称性的角度来看，p–n 结中之所以有这样的二极管效应，主要是其中的内电场 E 破坏了方向对称性 [10]。研究发现，在一些铁电体 (如 BiFeO₃) 或极性半导体 (如 BiTeBr)中，极化 P 亦可以扮演着与内电场 E 相同的角色。因此，我们也能够在这些材料中观察到体二极管效应 [11, 12]。极化 P 之所以能够等效为内电场 E，是因为二者均为极矢量 (polar vector)，而极矢量在各种对称操作下会表现出完全一致的行为。

2.2. SOS原理

首先，我们通过讨论速度矢量的对称性来进一步理解非互易性，并由此正式引入对称操作相似原理—— SOS。

众所周知，速度矢量k (或线性动量，或波矢) 表示为 dx/dt (其中 x 为位移，t 为时间)。这一矢量在空间反转 (x → –x ) 或时间反演 (t → –t ) 操作下将会改变其方向 (即符 )，故具备这两种对称性的破缺。注意到，k 可以描述任意 (准) 粒子的运动，如电子、自旋波、声子和光子。在这里，基于简单起见，我们仅处理一维情形下的问题，以便将其中的物理阐述清楚明白。向高维的推广和演绎直截了当，虽然较为繁琐。兹作如下符 约定，用于表示相应的对称操作：

R，绕垂直于k 矢量的轴旋转180 度；

R，绕沿k 矢量的轴旋转180 度；

I，空间反转；

M，以垂直于k 矢量的平面作镜面反映；

M，以包含k 矢量的平面作镜面反映；

T，时间反演。

那么，如何理解其中的非互易性呢？首先引入一个概念，构成量 (specimen constituent)。可以把构成量理解为材料或系统中的一种物理环境，如电子在电/磁场中运动时，这个电/磁场环境即是一种构成量。光在晶体中传播时，能够与光发生相互作用的晶格结构也是一种构成量。

简单而言，如果用一个代表状态的矢量 A 来描述这个构成量，那么系统就可以用 [+k, A ] 来表示。如果用另一个状态矢量 B 来描述经过对称操作后的构成量，那么经过变化后的系统就是 [-k, B ]。因此，若要讨论其中的互易性，只需要知道在通过对称操作使 [+k, A ] 变为 [-k, B ] 的过程中，构成量是否发生了变化。

从上面的分析可知，若想把 +k 变为 –k，必然要进行 {R, I, M, T} 对称操作。此时，如果构成量不发生变化 (即 A = B )，那么由于 +k 和–k 所处的物理环境 (构成量) 相同，运动行为将不会发生改变，实验结果是互易的。这里，将这一过程表述为对称操作前后是可以关联的，即 [+k, A ] 在{R, I, M, T} 对称操作 (只要有一个对称操作即可) 之后变成了 [-k, A ]。

反之，若构成量发生变化( A ≠ B )，即 {R, I, M, T} 中的任意一个对称操作均无法关联 [+k, A ] 和 [-k, B ]，则由于 +k 和–k 所处的物理环境 (构成量) 不同，运动行为必将改变，也就是会展现出非互易性。换言之，如果构成量也是{R, I, M, T} 对称性破缺的，那么 B 和 A 必将不相等，即实验结果一定是非互易的。

因缺乏更好的术语表述，我们姑且把这些具备 {R, I, M, T} 对称性破缺的构成量，称为具有针对k 的 SOS (symmetry operational similarity)。

很显然，SOS 并非只是针对互易性这一物理，如上所述只是局限于非互易性有关的 SOS 原理而已。

图2. 具有针对k 的 SOS之多种构成量。其中，红色箭头表示极化 P 或者外电场 E，蓝色箭头表示磁化 M 或外磁场 H。(a) 铁转 (ferro-rotation) [注：铁转表示的是面内的 (电) 偶极子旋转方式，包括顺、逆时针，可以用太极的“阴”、“阳”两种状态作类比。它的序参量可以表示为 R = r × P，在空间反转和时间反演下均不变。具体可参见文献[15]]。(b) & (c) 具有磁性 M 的结构手性 (螺旋型)。(d) & (e) 磁场 H 下的螺旋 (helical)自旋序。(f) 磁场 H 下的面内螺旋 (cycloidal，或称摆线) 自旋序。(g) 由自旋旋转构成的环磁极矩 (toroidal moment)。(h) 由 P 和 M (或 E 和 H ) 构成的环极矩 (toroidal moment) [译者注：虽然原文将 (g) 和 (h) 都称为 toroidal moment，不过它们在本质上是不同的。所谓的环极矩 (或铁性矩) 仅仅是在性质上类似于环磁极矩，这一点在文献[19] 中作了详细说明]。

图 2 列出的所有构成量，均具有针对k 的 SOS (即它们与k 具备对称操作相似性，在图 2 中用“≈”表示)。根据 SOS 原理，它们均能展现出非互易效应。另外，在图 2 中，我们只考虑了k 的一维特性，因而可以忽略沿一维方向的平移对称性。同时，也可忽略图 2(e) 所示构成量的R 对称性。

例如，在结构手性材料中，当沿手性轴施加磁场时，沿手性轴方向传播的自旋波或光波将展现出非互易效应，即所谓的磁 – 手性效应，对应于图 2(b)。实验上，在立方手性结构 Cu₂OSeO₃ 中已经观察到非互易的磁 – 手性自旋波效应 [16]。另外，理论计算预测，在单轴手性Ba₃NbFe₃Si₂O₁₄ 也存在类似的磁 – 手性效应，并且得到实验观测证实 [17, 18]。当手性轴与磁场垂直时，非互易效应依然存在，此即横向磁 – 手性效应，对应于图 2(c) [译者注：结构手性具备{I, M, M} 对称性破缺，如右手手征在 {I, M} 操作下将变为左手手征。赝矢量 M (或 H ) 具备 {R, T, M} 对称性破缺，故结构手性和磁性共同作用将具备{R, I, M, T} 对称性破缺]。

另一个非互易自旋波的例子是磁场沿螺旋轴方向的螺旋自旋构型 (或锥形自旋构型)，对应于图2(d)。这一现象在铒金属中被观察到 [7] [译者注：自旋螺旋构型和结构手性具备 SOS，即二者均破坏了{I, M, M} 对称性。这里，为了更方便理解螺旋自旋序的对称性，在讨论其对称操作时，读者只需要关注自旋序旋转方向的对称性，无需考虑每一个自旋]。

图2 (h) 描述了一种环极矩的情形。在极性磁体 FeZnMo₃O₈中观测到的非互易 THz 光学效应，即属于这一情形。其中，P 沿 c 轴，H (或M ) 处于 ab 面，传播光沿着垂直于 P 和 H (或M ) 的第三个方向 [19, 20]。另外，图 2(a) 描绘了一种具备 P 和 M (或在电场 E 和磁场 H 中) 的铁性 – 旋转。文献 [15] 详细地讨论了其中的结构手性和铁转特征，在此不再赘述。

图3. 准平衡过程中电子输运的非互易效应。其中，左右两种相互对立的实验情况可以通过{R, I, M} 对称操作关联。

注意到，上面所讨论的对称性考虑，或多或少地也适用于一些准平衡过程，如电子输运实验。其中，k 表示电子云的漂移速度，与电流矢量J 直接相关。不过，我们需要施加一外电场才能得到相应的 k 或 J。由于 {R, I, M} 对称操作能够将图 3 所示的左右两种实验情况联系起来，因此，那些具有 {R, I, M} 破缺对称性的电极化 (或电场) 构成量，以及图 3 所示的具有 {R, I, M} + {T} 破缺对称性的非互易情形，将都能展现出非互易电子输运特性。

以上描述也可以作如下概括：

在准平衡过程中，如果相互关联的两种运动行为 (实验状态) 可以通过某一对称操作集合而联系起来，则当某一构成量在该对称操作集合下发生破缺时，这两种实验状态下所观测到的该构成量将是非互易的。

这是与非互易性有关的SOS 原理之另一种表述方式。事实上，通常 p–n 结和铁电 BiFeO₃ 中所展示的二极管效应，正是这里所提到的非互易电子输运特性 [10, 11]。手性碳纳米管中的磁电阻也可以是非互易的，对应于上文图 2(b) 中所提到的磁 – 手性效应 [21]。在 BiTeBr 材料中，当在 ab 面内施加一磁场H、并且极化 P 沿 c 轴方向时，沿第三方向 (垂直于 P 和 H ) 的电导率将是非互易的，即同样会表现出如图 2(h) 所示的非互易环极矩效应 [12]。

03

多铁与线性磁电材料

3.1. 针对极化与磁化的SOS

多铁性，尤其是磁致多铁性，也可以用针对极化 P 的 SOS 来理解 [22]。在这里，“R, R, I, M, M 和 T”将是关于P 方向而定义的对称操作，不再是前文中针对k 的对称操作。类似地，{R, I, M} 便称为P 的所有对称性破缺操作的集合。我们把所有 (准) 一维下具备 {R, I, M} 破缺的构成量示于图 4(a) – (d) 中。它们都具有针对P 的 SOS。同样地，沿一维方向的平移对称性和如图 4(a) 所示的 R 对称性也可忽略。

需要强调一点：众所周知，极化 P 在 T 操作下并不存在对称性破缺，故针对极化 P 的 SOS 中并不要求 T 对称性破缺。

图4. (准) 一维构成量，它们均具有针对 P 或 M 的SOS。红色箭头表示 P，蓝色箭头表示自旋或 M。(a) 面内螺旋 (cycloidal，或称摆线) 自旋序。(b) 具有铁转结构的螺旋 (helical) 自旋序。(c) 两种不同自旋交替排列的上 – 上 – 下 – 下 (↑↑↓↓) 型自旋序。(d) 常规反铁磁有序，其中实心圆表示处于纸面之下的氧原子，空心圆表示处于纸面之上的氧原子。(e) & (f) 处于磁场 H 下的常规反铁磁有序，其中氧原子交替出现在链间，用虚线空心圆表示。(g) 结构手性晶格中外电场驱动下的电流。(h) 随时间旋转的极化。

接下来，我们举一些实例，以便更好理解：

接着，我们来看图 4(e) 和 (f) 所示的构成量：当外磁场 H = 0时，在 {R, I, M} 破缺集合中，构成量仅分别对 {I, M} 和 {R, I} 操作发生对称性破缺。当 H 非零时，才会发生 {R, I, M}的对称性破缺，即具有针对 P 的 SOS，如 Cr₂O₃等材料中的线性磁电耦合效应。图 4(e) 所示的情形对应于低磁场下对角的线性磁电耦合，图 4(f) 所示的情形则对应于磁场 H 高于自旋翻转临界场下非对角的线性磁电耦合 [31]。如果在图 4(e) 和 (f) 中将磁场 H 反向 (比如通过 R 或 M 操作)，相应地 P 将发生翻转。这与线性磁电耦合的基本物理性质相吻合。

最后，再来讨论磁化 M。{R, M, T} 是 M 的所有对称性破缺操作的集合。当图 4(e) & (f) 中施加的外场不再是磁场 H 而是电场 E 时，它们将发生 {R, M, T} 的对称性破缺，即具有针对 M 的 SOS，出现磁性。这反映了线性磁电耦合材料 (如 Cr₂O₃) 中电场诱导磁化和磁场诱导极化之间的相互关系。事实上，我们也注意到，当把H 替换为梯度应变矢量(即应变是非均匀的) 时，它同样具有针对M 的 SOS ——也就是说，所有的线性磁电材料均能在梯度应变的作用下出现净磁矩，即所谓的挠曲磁性(flexomagnetism)。另外，在后文的图 5(b) – (f) 中，倘若把H 替换为梯度应变矢量，亦将展现出挠曲磁性。

接下来，可以考虑一件非常有趣的事：如果在材料中通过某些非平凡的手段，使得相应的对称性发生破缺，那么根据SOS 原理，是否就能获得一些新奇的物理现象呢？

答案是肯定的。现以图 4(g) 所示的构成量为例。当在具有螺旋型的结构手性晶体中注入电流时，相当于人为地引入了电流矢量 J。根据对称操作原则，J 具备破缺的 {R, T}，而结构手性具备破缺的 {M}，二者结合将使得该构成量发生 {R, M, T} 对称性破缺，即出现针对 M 的 SOS。这正是在非磁性材料中引入磁性的重要方法，并且已经在结构手性的碲晶体中观察到了线性诱导出的 M [32, 33]。另外，在图 4(h) 中，当 Neel 型铁电畴壁在垂直于壁的方向上移动时，同样应当具有磁性 [34]。不过这种情况尚未通过实验证实，但参考文献 [35] 中关于动态多铁性的讨论即是关于这一问题。

3.2. 预测未知的磁电效应

对预测磁致铁电和线性磁电耦合新材料，上文提出的 SOS 原理，将会是非常有力的工具。例如，在图 5(a) 中，同时存在两种磁性离子 (AAB 型) 的离子有序和上 – 上 – 上 – 下 – 下 – 下(↑↑↑↓↓↓)型磁有序。它们具有针对P 的SOS，因此应当表现出磁致铁电性。再如，图 5(b) 中，前两种用于表示磁单极子 [译者注：此处的磁单极子并非是理论物理学中假设的基本粒子，而是存在于某些凝聚态物质系统中非孤立的磁单极准粒子，如自旋冰 (spin ice)]，第三个用于表示环磁极矩，第四个用于表示磁四极子。它们在零磁场下并不具有针对 P 的 SOS [译者注：前两个不具备 {R} 破缺，后两个不具备 {M} 破缺]，不过却会在磁场 H 下出现针对 P 的 SOS，故能表现出线性磁电耦合效应。图 5(c) – (f) 所示的 (翘曲) 蜂窝晶格自旋构型也非常类似，仅当施加了非零磁场 H 时，它们才会具有针对 P 的SOS，从而表现出线性磁电耦合效应。

需要指出的是，上述多数构成量尚未得以有具体实验证实。不过，若未来能够在实际材料中对这些源自对称性的预测加以验证，那必将是极具意义的 [36]。

图5. 具有针对 P 的 SOS 的构成量。红色箭头表示 P，蓝色箭头表示自旋或 M。(a)AAB 型离子有序结合上 – 上 – 上 – 下 – 下 – 下型自旋有序。(b) 与H 垂直的磁单极子，与 H 共面的磁单级子，与 H 共面的环磁极矩，与 H 共面的磁四极子。(c)- (e) 磁场 H 下蜂窝晶格中不同的面内反铁磁有序构型。(f)翘曲蜂窝晶格中的伊辛反铁磁有序 [译者注：翘曲指的是该蜂窝晶格的六个格点不在同一平面内]，其中，磁场垂直纸面向外，实心圆表示处于纸面之下的自旋，空心圆表示处于纸面之上的自旋，“+，-”符 分别表示自旋垂直纸面向外或向内。需要指出的是，当 (f) 中磁场 H 的方向变为纸面内水平向右时，相应的构成量将具有针对“纸面内水平向右的P ”的 SOS。(g) 处于均匀应力下的螺旋型手性结构，其中绿色双箭头表示均匀应力场。(h) 处于剪切应力 (纸面内) 下的螺旋型手性结构，绿色箭头表示剪切应力。

我们举一个相关的例子来佐证：六角晶系的R(Mn, Fe)O₃ (R为稀土离子)。

这一体系属于反常 (improper) 铁电体，它在 ab 面内存在自发的Mn/Fe三聚体(trimerization)，铁电极化沿c轴方向。已经在六角 R(Mn, Fe)O₃ 体系中发现了多种面内 Mn 自旋的磁有序。其中，Mn 三聚体与所谓的 A1 型磁有序共同作用，能够诱导出净环磁极矩。而所谓的 A2 型磁有序可以为系统引入磁单极子 [37, 38]。线性磁电耦合效应以及与这些磁单极子、环磁极矩相关的非互易性，将会是未来研究的主题。

04

压电效应

一般来讲，压电效应存在于非中心对称的晶格结构中。然而，3 行 6 列的压电张量处理起来非常复杂，并且即使在非中心对称系统中，有些压电系数也有可能是零。我们知道，在 32 种晶体点群中，有 11 种是中心对称的，不具有压电性；同时，属于点群 432 的晶体虽无对称中心，但其对称性较高，也没有压电性，压电晶体只可能属于 20 个非中心对称的点群 [1, 2]。接下来，我们将利用 SOS 原理从对称性的角度来理解压电性的起源。

所谓压电，指的是晶体在受到应力作用时能够在某些表面上产生电荷，也就是诱导出 P。因此，在考虑压电的构成量时，有两个要素：一是应力场 (均匀应力或者剪切应力)，二是能否具备针对 P 的 SOS。例如，在图 5(g) 的螺旋手性结构中，沿任意主方向上的均匀应力都无法使这个构成量具备针对 P 的 SOS，因此压电系数d_ij (i, j = 1, 2, 3) = 0。也就是说，均匀应力无法带来压电性。

然而，当这一螺旋手性结构中存在如图 5(h) 所示的剪切应力时，由于螺旋手性结构本身具备 {I, M} 对称性破缺，而引入的应力场具备 {R} 对称性破缺，这一构成量将具备针对 P 的 SOS，即 d₁₄、d₂₅ 和 d₃₆ 非零，因此具有压电性 [译者注：当手性材料施加了如图所示纸面内的剪切应力后，除了垂直于纸面方向的二次旋转轴外，其它方向的旋转对称性全部消失。根据二次轴的对称性要求，材料中的电偶极矩只可能沿着该二次轴方向，故 P 只能垂直于纸面，即 d₁₄ 非零，d₂₄ = d₃₄ = 0。同理，d₂₅ 和 d₃₆ 非零，d₁₅ = d₃₅ = d₁₆ = d₂₆ =0 ]。事实上，图 5(g) & (h) 所描绘的情景，正对应着点群 2₁22 和 222 中的压电性。

(未完待续，请见SOS——操弄对称的相似原理 (下))

参考文献

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备注：

(1) 题头小诗有故弄玄虚之嫌，以示对称性在物理中的崇高地位。由此，所有与对称性相关的动作均具有不俗的意义和价值。

(2) 封面图片来自
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