信息时代的数学

胡世华（1912.1.28—1998.4.11），浙江吴兴人，数理逻辑学家、计算机科学家。1935年毕业于北京大学。1936年—1941年先后在奥地利维也纳大学、德国西威廉敏思特大学等处学习和研究数理逻辑与数学基础。1943年至1946年，任中央大学哲学系数理逻辑、数学基础教授。胡世华在20世纪30年代建立了拓扑空间“非完整点”的概念和理论；40—50年代建立了将较少值具有函数完全性的逻辑嵌入较多值逻辑中的系统方法；60年代初在国际上首先建立了字（有穷基自由半群）上的递归函数和递归算法理论；70年代对算法语言的描述问题作了深入研究；80—90年代在递归算法的基础上研究了可计算函数在证明论中的应用。1980年当选为中国科学院学部委员（院士）。

一

信息时代就是以物质的装置（主要是计算机主机及共外围设备）代替原来由人来从事的信息加工处理工作的时代[2]。信息时代称为信息加工时代或计算机化的时代都是完全合理的。在信息时代，由于计算机的运用，需要数学更加自觉和更加广泛地渗透到科学技术的一切领域中去。“数学工作”的含义将不可避免地发生变化。

信息加工时代的数学工作包括数学科学工作，数学工程工作和数学生产工作。数学工程是指需要有数学知识、数学训练的人来从事的信息工程，数学生产是进行数学工程、形成产品的生产，即软件的生产。计算机的软件工程就是一类数学工程，而数学工程并不限于现在通常说的计算机的系统软件、应用软件的工程。比如，由人（或以计算机为辅助工具）来做定理的证明就是软件工程[3]。

由于数学工程和数学生产的发展，建立数学模型的工作有了更为广泛的需要。这是数学家所熟知的对于“模型”一词的一种意思。在信息时代，还需要把数学模型形式化，成为形式系统。不建立起这种形式系统就无法使计算机进行加工处理。有了形式系统，所建立的数学模型就成为建立形式系统的预定解释(intended interpretation)。这预定解释就成为这形式系统（及共所用形式语言）的一个模型，这是另一种意思的模型，即模型论和泛代数中所严格引进的“模型”概念的模型。模型论的研究，在信息时代显示了它的突出的重要性。

信息时代的一个特点是知识密集型产业的兴起和大发展。这种产业需要密集起来的知识，包括各个门类的科学技术知识。密集是把各种知识定型化、精确化、数学化、形式化。要使之可以存入存储设备中，由计算机进行加工处理，就必须建立和研究各种实用的和理想的数学模型。在各种专家系统中密集的“知识”，不象存在于一些专家头脑中的只能由他个人掌握和使用的知识，而是可供大家共同使用的“知识”。这种知识表现为计算机软件的形式，生产这种软件的工程可以称之为知识工程。

信息时代是数学大发展的时代。计算机具有了“思维”似的功能，因而对入的自然的思维能力会要求更高。数学本来是人的智慧的“体育”(the atheleticism of theintellect).信息时代不会巾于计算机的思维功能而使人成为思想懒汉，而是相反。数学的一个目的是提高人民的智力素质，这关系到由怎样的人来做各种工作，这说明，数学文化在各种文化中的特殊地位；这一点，在意识到信息时代的科学技术特点，意识到数学在信息加工中的作用时会看得更清楚。

二

在信息加工时代，计算机科学技术与数学都需要有自我认识和相互的同情理解。

研究数学思想对于计算机体系的发展所起的作用，是很有裨益的。E.Pascal(1623 一 1662)，为了帮助他父亲完成计算任务，砃究并造出了第一台计算机一一加法机。他的数学思想和计算机工作影响了 G.von Leihniz(1646—1716).Leibniz 做出了第一台能做加、减、乘除四则运算的计算机。他对逻辑、数学、计算机三者的认识都出于他的思维机器化的理想。为了达到这个目的，他要建立思维演算(calculus ratiocinator)和建立起一个普逼的符 语言(characteristica universalis,参看王宪钧 1982 第三篇第一章）。建立这种语言的思想，可以看作今天数理逻辑中所用的形式语言和现代程序语言的渊源。C.Bahhage(l791 一 1871)是第一个研制自动计算机的数学家。他的计算机，除了“程序内存”这一特点外，具备了现代计算机的主要特点，即用程序控制的（由蒸汽机驱动的）自动计算机。与 Babbage 合作的是数学家 Lovelace 夫人（诗人拜伦的女儿(Ada)），她是现代计算机程序设计的始祖。她要用 Babbage 的计算机来计算伯努利数。她的程序设计思想在当时达到了很高的水平。Babbage 的机器未能做成，是由于机器制造技术还不成熟。他死后七十年(1937), H.Aiken 在哈佛大学研究自动计算机的设计，于 1940 年用继电器造出了以 Mk.I。命名的计算机，这才初步实现了 Babbage 的设计思想，但比之 Babbage 原来的思想还相差很远。直到 1946 年，由 J.P.Eckert 等人研制出世界上第一台电子计算机 ENIAC, 才使 Babbage 的思想得到此较充分的实现。Babbage 之后，J.von Neumann(1903-1957)和 A.M.Turing(1912 一 1954)是计算机发展史上建立了第一座最伟大丰碑的两个数学家。von Neumann 设计制作的 EDVAC 是世界上第一台程序内存的自动计算机。程序内存的计算机首先由 von Neumann 做成，这是国际公认的。他的设计思想称为“von Neumann 设计思想”；这种机器的程序设计可以称为”von Neumann 程序设计”。这种设计的本质特点是程序内存。由于有了程序内存，使汁算机具备了“思维“性质的功能（参看 von Neumann《计算机与脑》1958)，开辟了人工智能的科学研究方向，开始了信息时代。但是“程序内存”，这个思想究竟是怎样产生的？是谁首创的？最好山 von Neumann 自己讲的话来判断。据 B.Randell 导：von Neumann 生前助手 S.Frankel 于 1972 年 2 月 11 日给他的复信中说，von Neumann 明确地告诉人们租 Frankel 本人，这种计算机的基本概念属于 Turing，而他自己的贡献只是把 Turing 的基本思想做了高度创造性的发展工作，在摩尔学院把具体的程序内存的计算机做出来（大意，参看 Randell,198O),Turing 的计算机概念发表于他经典性论文《论可计算数及共对判定问题的应用 1936 一 37，那时他的兴趣在数理逻辑方面。这篇论文引起了数理逻辑学者 A.Church 的关注，并请他到美国普林斯顿从 A.Church 工作。他以《建立在序数基础上的逻辑系统》（1939）取得学位；后来，二次大战时入伍，为英国研究设计电子计算机。他的设计是在他充分理解了自动计算机研究的先驱 Babbage 之后，独立创造的。他很了解 von Neumann 的 EDVAC 机器的设计思想；但是他并没有受到多少这方面的影响。事实上，Turing 设计的计算机远比 EDVAC 的效率高，而且精致、完善。根据 Turing 的设计于 1950 年造出了 ACE（自动计算机器），英国电子公司以 DEUCE 的名称复制了约三十台，是世界上第一台成批生产的电子计算机。Turing 也是人工智能方面的奠基人[5]。前面所讲到的专家系统就是一种人工智能的应用研究。

Leibniz,Turing,von Neumann 的思想，和他们的后练者的纯数学研究成果一直是五十到八十年代计算机科学技术发展的基本指导原则，但却常常遭到忽视。有些从事计算机实际工程工作的学者发现，他们屡犯错误的原因就是不了解数理逻辑中早巳有的结果。计算机科学技术的研究工作随着计算机事业的发展越来越受到重视，但是如果缺乏原则性的指导，就会使发展陷于盲目。这种盲目性已经表露得很清楚。

三十五年来，随着其它科学技术领域的进步，计算机有了不断更新的硬件技术，使 von.Neumann-Turing 的思想得到充分的实现。其充分程度达到使人认为这种思想已经成为计算机发展中的障碍，而不能不对之有所突破。1977 年计算机科学家 Backus 曾称这种院碍为”von Neumann 的瓶颈子＂（见 Backus1977 年的论文）。von Neumann 设计思想是需要突破的。我们从 von Neumann 生前所发表的（例如 von Neumann1958 和全集第五卷）以及他身后由别人代为整理出版的论著(von Neumann,1966)中也可以看到，他自己从来不合满足于被人们称为“von Neumann 设计”的思想，尽管这种“设计思想”在当时计算机界还占着统治地位。他也没有被计算机科学技术界当时的流行思想所局限。突破 von Neumann 设计思想的途径是有的。据 Backus 建议的方案，可采用逆归论、Lambda 转换演算、组合逻辑等算法理论中的已有成果加以发展。Backus 的建议是解决他所提问题的一种方案，是计算机使用中的重要问题，关系到程序设计方法和计算机体系结构。方案当然不是唯一的，克服上面所说的盲目性还远不止这样一个问题。这里要说的主要之点是，许多为数学专业人员所知道的重要成果计算机界却不知道。对这点数学界也负有不可推卸的责任。

计算机科学技术的发展存在着很大的问题，不解决它们是危险的。国际上有见识的学者提到，技术（主要指计算机技术）是 会的祸害与福利(Baneand Boon)，过去称之为软件爆炸、软件危机的情况就是例子。如何趋顽避祸是科学技术发展的宏观决策的大问题。在信息加工的时代，减少实用主义，重视科学的原则指导，把理论计算机科学和基础数学理论重视起来，是带根本性的大事，而且是惠而不费的。不能认为重视基础理论只是长远发展的需要，更应当看到其当前的迫切性。

三

数学需要有自我认识，这不仅是为了数学本身的发展，也为了人类的进步[6]。数理逻辑与数学基础的研究有助于这种认识，但更重要的是各门数学都要从各自的角度去认识数学；这既有利于本分支的发展，又有利于整个数学科学的发展；有利于信息时代的一切工作。Hilbert1900 年在著名 告的结束语中，讲到数学是否会形成隔行如隔山；他表示，他既不相信又不愿意如此。他说：“我认为数学科学是一个不可分的有机整体，它的活力基于它的各个部分之间的联系。”他在此后的数学基础观点是有发展变化的，他更看不到他身后的数学发展。我们若把近三十年来数学基础研究与信息时代的数学联系起来看， 会对 Hilbert 的上述论断“温故而知新”·

数学各学科中的研究，可以归结为两种倾向的研究，即构造性数学和非构造性数学[7].意识到这两种倾向的不同和二者的对立统一关系是很重要的。按照王浩的观点（见 Richman,1980 前言），前者是做的数学(mathematics of doing)，后者是在的数学(mathematics of being)。在数学史上，这两种倾向的数学研究一直存在着。到了近代，在 Cantor 之后，非构造性数学的研究有了很大的发展，似乎占了压倒优势。但是在 Baire，Borel，Lebesque 等数学家看来，按非构造性数学那样随意使用选择公理是有问题的[8]，意识到信息加工时代和数学中这两种倾向，对于数学对象和数学真理性质的理解是有好处的，有利于数学的自我认识。数学的在是信息模式和结构的在；数学的做是信息加工。构造性数学的倾向是用数学取得结果把结果构造出来，侧重于思维的构造性实践（有限制地使用排中律）。非构造性数学的倾向是数学地理解问题和规律、建立数学模型形成数学理论休系、追求科学理想（可以自由使用排中律）。这两种数学是不能截然分得开的。

考虑到信息时代的要求，就可以看消楚：构造性与非构造性数学的关系，它们各自的重要性和前进方向，二者是不可缺一的。要使计算机为人所用，特别是使原来由人做的事让计算机来做，就必须使数学规律计算化、算法化，就要研究计算数学，研究构造性数学。但是，研究用计算机来做事的可能性、有效性、可行性以至局限性，又非进入非构造性的研究不可。在信息时代里，构造性数学与非构造性数学一起都需要以空前的规模来发展。但是两种倾向的数学都要意识到一些基本原则：构造性数学总是自觉或不自觉地在非构造性数学的原则下进行研究和探索；而非构造性数学中又总存在着构造性数学的因素，“纯净”的非构造性数学是不存在的。在非构造性数学的研究中，构造性成分越多的部分往往对自身的发展也越有意义。在计算机科学的发展中，可以更清楚地看到构造性数学与非构造性数学的关系。这一点对数学科学和计算机科学的发展都很重要，都很根本；对于信息时代的科学技术的发展也很重要，也很根本。

“离散数学”作为一种数学名称写成教科书是由于计算机教育的实用需要。数学家看到有些课本中所讲的内容也许会觉得，它们并不能代表自己理解的离散数学的重要内容；了解计算机科学技术多一些的学者又会觉得教材没有把学生更应掌握的内容写进去。可是它与连续数学的关系，以及二者各自在数学中的地位与作用历来就存在着，而且是不可分的。其实，离散数学决不限于可以冠之以“离散”字样的范围。只是它与连续数学的关系不象过去构造性数学和非构造性数学的关系那样引起数理逻辑、数学基础学者的关注罢了。代数和数学的代数化，本质上就是离散化倾向的数学。从信息加工时代的要求，也是数学本身发展的要求看，应当给离散数学以更大的重视。连续数学也如构造性数学和非构造性数学一样需要受到重视。决不能以削弱一种数学的办法来加强另一种数学。两种数学中的每一种都需要关注另一种的要求与因素。这一点，对计算机科学和数学自身的发展都很重要。

Whitehead 之后，有一些著名的数理逻辑数学基础学者有过很深刻的论述。他们虽然没有（或很少）引用 Whitehead 的言论，但 Whitehead 实际上是他们的先行者。以下我想简单评介一下 A.N.Whitehead 对于数学的一些观点。他是以和 B.Russell 合写 PM(Principia Mathematica 1910,1912,1913)而闻名于数学界的。学术界不大注意他在其它方面的贡献，尤其没有注意他对代数和几何基础研究的思想[9]。他的第一本数学著作花了七年时间，于 1898 年出版，这是第一本泛代数的专著，他是泛代数的创始人。现在看来，泛代数就是研究数学模型，研究各种数学系统，包括构造性数学和非构造性数学，研究各种数学结构和相互关系的数学。Whitehead1898 年的著作在过了六十多年后，于 1960 年重印时只能说才开始受到代数学者的注意[10]。他有一篇论数学的文章《数学与好(Good)》（1941)值得介绍一读。这是他 1939 年 12 月 15 日在哈佛的一篇讲演。文中根据当时数学的成就，按现代数学家所能接受的、对数学的理解来回顾、概括了过去两千几百年的数学发展史，根据现代数学的特点，讲了数学科学在人类科学文化发展中曾经起过的作用和明显的意义，展望了今后两于年中数学将起怎样的作用。他说：

“鉴于供数学研究的范围的无限广阔，这门科学，即使是现代数学，也还是处于婴儿时期。如果文明继续进步，在今后两于年内，在人类思想领域里具有压倒性的新的情况，将是数学地理解问题占统治地位(Having regard to the immensity of its subject-matter mathematics, even modern mathematics^ is a science in its babyhood. If civilization continues to advance, in the next two thousand years the overwhelming novelty in human thought will be the dominance of mathematical understanding)”。

关于 Whithead 的论点，需要在这里作一些说明。他讲的数学可以被人理解为讲非构造性数学。但是按他在文中讲到理论与实践的相互关系的论点和他在其它著作中反映的思想看，他对构造性数学与非构造性数学的相互关系实质上是重视的，只是没有展开讨论[11]。但是他却一点没有讲到计算机。当时电子计算机尚未问世， “信息时代”的概念尚未形成。Whitehead 没有注意到技术的进步对于数学发展的意义。Babbage 的自动计算机的理想不能实现是由于缺乏实现 Babbage 理想的硬件（元器件）方面的技术手段。

Whitehead 的预言，“数学地理解问题将占统治地位”是可信的。经典作家对于数学的片言只语是有洞察的，只是他们不能象 Whitehead 那样展开论证，且论证得如此清楚。不过 Whitehead 的思想里也还缺少一些东西，他没有意识到计算机和技术的发展对数学的作用，没有直接有意识地探讨数学中构造性数学和非构造性数学的关系问题，当然，那时的数理逻辑与数学基础研究还没有达到现在的水平；信息加工时代的科学技术特点他还不清楚。因之他的论点不能说是完善的。至于时间问题，肯定不需要两千年，二十年之后，我敢说，就会成为明显的事实[12]

注

2. “信息(information)”一词的原文在汉语的不同上下文中不一定都要译为“信息飞有时译为“消息”、“情 ”，有时译为“知识”等词更符合习惯。知识中，那种能告诉(inform)人、能传达、记录（存储）、能学的都是信息，

4. N.Wiener 的说法，见 Levinson(1964).

5. Turing 关于人工智能方面的主要思想可参阅他的经典性论文(1963 入关于 Turing 的生平和他的学术成就可参阅刘挽帆(1983)及其母亲 S.Turing 写的 Turing 传(1959).计算机科学方面最高荣誉奖是 Turing 奖。

7. 两种数学的提出有注 6 所列各家对数学真理性质孚议的背景，特别是对排中律。Brouwer 认为纯数学就是他主张的直觉主义数学，即构造性数学，不能使用排中律。Hilbert“不同意“Brouwer 对于非构造性数学的态度，提出了奠定数学基础的方案，即用构造性方法证明非构造性数学的协调性。但是，“构造性”一词的含义在三十年代之前 Brouwer 没有表述得足够清楚；Hilbert 用于协调性证明的“构造性方法”在写作（（数学基础）〉（1934,1939)两卷之前和写作中间是有发展的；在 Godel(1931) 证明了第二不完全性定理之后，至少明确了一点，即，数学协调性证明不能局限于 Hilbert 原来设想的汁划。Brouwer 的直觉主义观点经 Heyting,Godel 等学者的研究在数学上比较清楚了，见 Heyting(1956)和 Mostowski(19o5).Brouwer 对于数学虽有他独特的观点，但是他(1948)文中对非构造性数学的肯定性论述是能为一般数学基础学者所接受的。在进入五十年代之后，对于数学研究中有这样两种倾向这一点，就较为广泛地为数理逻辑数学基础学者所接受了，实际上也是较能为一般数学家所接受了。

8. 见 Hinman1978 的导言。

9. Whitehead 与 Russell 合写 PM 的缘由是：Whitehead 写了泛代数的专著(1898),Russell 则写了 The Principlesof Mathematics(1903)。这两本书都只有第一卷。Whitehead 与 Russell 商最两人合写两书的共同的第二卷。原想不久就可以完稿，但目标发展了，结果花了八、九年时间才产生了三卷 PM（见 Whitehead 自传(1941)).本来还计划由 Whitehead 一个人写 PM 的第四卷。关于前三卷，采用了 Russell (1903)的观点，这从 PM 的前言看就很清楚，书中也未再提 Whitehead (1898)的书。全书所用的符 表示法(notation)除了取自 Peano 的，极大部分都是 Whitehead 所创制。关于第四卷，这是以几何基础为内容的一卷，Whitehead 巳把手稿写出，但是他似认为手稿中最有价值的内容已包含在 1916 一 1929 年的著作中并且还有所超过。这是 PM 没有第四卷的一个原因（参见 Lowe(1951)）。上述他在 1916 一 1929 年的著作，主要是他的 1919 年，1920 年两书和 1929 年的第四部分。

10. 此书是他此后所有数理逻辑数学基础著作的思想根源。这样一部重要著作很长时间没有为数理逻辑数学基础学者所关注，也许是由于人们仅注意到它是一本代数著作，而对数理逻辑数学基础的意义没有充分显示的缘故，等等。

11. 他讲的数学可被理解为非构造性数学，是由于他同意使用 Russell 建立的非构造性的逻辑系统，没有限制使用排中律。他对于两种数学相互关系的重视，还要追溯到他的整个思想体系，也可以从他的有关数学著作中捉摸到一些，如 1898,1911（第五章），1927.

参考文献