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基础激励下基于模态叠加法谐响应分析

基础激励下基于模态叠加法谐响应分析

摘要： 针对ANSYS等商业有限元软件无法进行基础激励下基于模态叠加法的谐响应分析的问题，将以绝对响应为变量的动力学方程改写为基础响应与结构相对响应之和的形式，重新推导以相对响应为变量的结构动力学方程.以组合梁结构为例进行MATLAB程序仿真，并以ANSYS的PSD分析结果验证所推导的动力学方程的正确性，说明基础激励下利用模态叠加法进行谐响应分析的可行性.

关键词： 基础激励； 模态叠加法； 谐响应分析； 绝对响应； 相对响应； ANSYS； MATLAB

中图分类 ： O324文献标志码： A

0引言

在有限元分析时，频域下线性系统动力学方程[35]为MX¨(ω)+CXω)+KX(ω)=F(ω) (1)式中：M，C和K分别为系统的质量、阻尼和刚度矩阵；X¨，XX分别为系统的加速度、速度和位移响应，均为绝对量；Fω为系统的外载荷.

假设系统受到基础加速度激励，此时可将式(1)按照约束节点和非约束节点[69]进行分块，写为MddMds

MsdMssX¨d

X¨s+CddCds

CsdCssX

X+KddKds

KsdKssXd

Xs=0 (2)式中：下标d和s分别为结构非约束节点的集合和约束节点的集合；X¨d，X和Xd为非约束节点的绝对响应；X¨s，X和Xs为基础约束节点的绝对响应；Mds，Cds和Kds分别为结构边界单元的耦合质量、耦合阻尼和耦合刚度矩阵.

式(2)中第一部分可改写为MddX¨d+CddX+KdsXd=-MdsX¨s-CdsX-KsdXs (3)进行基础加速度激励下的谐响应分析，即进行单位基础加速度激励下的结构响应计算.式(3)可以利用全方法直接进行计算，但当结构自由度规模较大时，计算困难，耗费机时.式(3)不能直接采用模态叠加法进行计算，其原因在于模态叠加法的假设前提不成立.模态叠加法是假设结构的响应可表示为振型向量的线性组合，即X=Ψη (4)式中：Ψ为结构的振型矩阵；η为结构在正则坐标下的结构响应.需要指出的是，式(4)计算的是结构的相对约束点的响应，是结构的相对响应，而式(3)中的响应是结构的绝对响应，不能直接采用模态叠加法进行计算.因此，需要重新推导动力学方程.

将式(2)中结构的绝对响应表示为结构相对于约束节点的相对响应与基础节点响应之和，即Xd=Xd，c+Xs (5)式中：Xd，c为结构非约束节点的相对响应.

式(2)可改写为MddMds

MsdMssX¨d，c+X¨s

X¨s+CddCds

CsdCssX，c+X

X+KddKds

KsdKssXd，c+Xs

Xs=0 (6)式(6)的第一个部分可写为MddX¨d，c+CddX，c+KddXd，c=-MddX¨s-MdsX¨s-CddX-CdsX-KddXs-KdsXs (7)式(7)可采用模态叠加法进行谐响应计算，得到相对响应，由式(5)可得到结构的绝对响应.

2数值仿真

组合梁结构的有限元模型见图1.结构参数见表1，边界约束为支撑梁底部的固支约束.

图 1组合梁结构有限元模型，mm

Fig.1Finite element model of composite beam structure， mm

表 1组合梁结构的模型参数

Tab.1Parameters of composite beam structure截面高度/

mm截面宽度/

mm密度/

(kg/m3)弹性模量/

Pa泊松比10102 7007.1E+100.3

本算例模型未实际加工，因此未

相关资源：连续梁的弯矩计算软件V1.0绿色版_连续梁-其它代码类资源-CSDN文库