回溯算法：从电影《蝴蝶效应》中学习回溯算法的核心思想

我们在深度和广度优先算法提到，深度优先搜索算法利用的是回溯算法思想。这个算法思想非常简单，但是应用却非常广泛。它除了用来指导深度优先搜索这种经典算法设计之外，还可以用在很多实际软件开发场景中，比如正则表达式匹配、编译原理中的语法分析等。

除此之外，很多经典的数学问题都可以用回溯算法解决，比如数独、八皇后、图的着色、旅行商问题、全排列等等。

如何理解回溯算法

在我们的一生中，会遇到很多重要的岔路口。在岔路口上，每个选择都会影响我们今后的人生。有的人在岔路口能做出正确的选择，最后生活事业都达到一个很高的高度；而有的人一路选错，最重碌碌无为。如果人生可以量化，那如何才能在岔路口做出最正确的选择，让自己的人生“最优”呢/p>

我们可以借助前面学过的贪心算法，在每次面对岔路品的时候，都做出看起来最优的选择，期望这一组选择可以使得我们的人生达到“最优”。但是，我们前面也讲过，贪心算法并不一定能得到最优解。那有没有什么办法能得到最优解呢/p>

2004年上映了一部非常著名的电影《蝴蝶效应》，讲的就是主人公为了达到自己的目标，一直通过回溯的方法，回到童年，在关键的岔路口，重新做选择。当然，这只是科幻电影，我们的人生是无法倒退的，但是这其中蕴含的思想其实就是回溯算法。

笼统地讲，回溯算法很多时候都应用在“搜索”这类问题。不过这里说的搜索，并不是狭义的指我们前面讲过的图的搜索算法，而是在一组可能的解中，搜索满足期望的解。

回溯的处理思想，有点类似枚举搜索。我们枚举所有的解，找到满足期望的解。为了有规律的枚举所有的解，避免遗漏和重复，我们把问题求解的过程分为多个阶段。每个阶段我们都会面对一个岔路口，我们先随意选一条路走，当发现这条路走不通的时候（不符合期望的解），就回退到上一个岔路口，另选一种走法继续走。

理论的东西还是过于抽象，举一个例子。我们有一个 8×8的棋盘，希望往里放8个棋子（皇后），每个棋子所在的行、列、对角线都不能有另一个棋子。你可以看我画的图，第一幅图是满足条件的一种方法，第二幅图不满足条件。八皇后问题就是期望找到所有满足这种条件的放棋子的方式。

回溯算法的理论知识很容易弄懂。不过，对于新手来说，比较难的是用递归来实现。再举两个例子，来练习一下回溯算法的应用和实现。

• 0-1背包

0-1背包是非常经典的算法问题，很多场景都可以抽象成这个疸模型。这个问题的经典解法是动态规划，不过还有一种简单但没有那么高效的解法，那就是今天讲的回溯算法。动态规则下环节再讲。

0-1背包问题有很多变体，我这里介绍一种比较基础的。我人有一个背包，背包总的承载重量是Wkg。现在我们有 n 个物品，每个物品重量不等，并且不可分割。我们现在期望选择几件物品，装进背包中。在不超过背包承重的前提下，如何让背包中物品的总重量最大/p>

实际上，背包问题我们在贪心算法那一节已经讲过一个了。不过那里讲的物品是可以分割的，我们可以装某个物品中的一部分到背包里。今天讲的这个背包疸，物品中是不可分割的，要么装要么不装，所以叫0-1背包问题。显然，这个问题已经无法通过贪心算法来解决了。我们现在来看看，用回溯算法如何来解决。

对于每个物品来说，都有两种选择，装进背包或者不装进背包。对于 n 个物品来说，总的装法就有2ⁿ种，去掉总重量超过Wkg的，从剩下的装法中选择总重量最接近Wkg的。不过，我们如何才能不重复地穷举出这2ⁿ种装法呢/p>

这里就可以用回溯的方法。我们可以把物品依次排列，整个问题就分解为了n个阶段，每个阶段对应一个物品怎么选择。先选择第一个物品进行处理，选择装进去或者不装进去，然后再递归处理剩下的物品。翻译成代码如下。这里还稍微用了一点搜索剪枝的技巧，就是当发现已经选择的物品的重量超过Wkg之后，我们就停止继续探测剩下的物品

正则表达式

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