为什么你学不会递归？告别递归，谈谈我的一些经验

可能很多人在大一的时候，就已经接触了递归了，不过，我敢保证很多人初学者刚开始接触递归的时候，是一脸懵逼的，我当初也是，给我的感觉就是，递归太神奇了！

可能也有一大部分人知道递归，也能看的懂递归，但在实际做题过程中，却不知道怎么使用，有时候还容易被递归给搞晕。也有好几个人来问我有没有快速掌握递归的捷径啊。说实话，哪来那么多捷径啊，不过，我还是想写一篇文章，谈谈我的一些经验，或许，能够给你带来一些帮助。

为了兼顾初学者，我会从最简单的题讲起！

递归的三大要素

第一要素：明确你这个函数想要干什么

对于递归，我觉得很重要的一个事就是，这个函数的功能是什么，他要完成什么样的一件事，而这个，是完全由你自己来定义的。也就是说，我们先不管函数里面的代码什么，而是要先明白，你这个函数是要用来干什么。

例如，我定义了一个函数

这个函数的功能是算 n 的阶乘。好了，我们已经定义了一个函数，并且定义了它的功能是什么，接下来我们看第二要素。

第二要素：寻找递归结束条件

所谓递归，就是会在函数内部代码中，调用这个函数本身，所以，我们必须要找出递归的结束条件，不然的话，会一直调用自己，进入无底洞。也就是说，我们需要找出当参数为啥时，递归结束，之后直接把结果返回，请注意，这个时候我们必须能根据这个参数的值，能够直接知道函数的结果是什么。

例如，上面那个例子，当 n = 1 时，那你应该能够直接知道 f(n) 是啥吧时，f(1) = 1。完善我们函数内部的代码，把第二要素加进代码里面，如下

有人可能会说，当 n = 2 时，那我们可以直接知道 f(n) 等于多少啊，那我可以把 n = 2 作为递归的结束条件吗/p>

当然可以，只要你觉得参数是什么时，你能够直接知道函数的结果，那么你就可以把这个参数作为结束的条件，所以下面这段代码也是可以的。

注意我代码里面写的注释，假设 n >= 2，因为如果 n = 1时，会被漏掉，当 n <= 2时，f(n) = n，所以为了更加严谨，我们可以写成这样：

第三要素：找出函数的等价关系式

第三要素就是，我们要不断缩小参数的范围，缩小之后，我们可以通过一些辅助的变量或者操作，使原函数的结果不变。

例如，f(n) 这个范围比较大，我们可以让 f(n) = n * f(n-1)。这样，范围就由 n 变成了 n-1 了，范围变小了，并且为了原函数f(n) 不变，我们需要让 f(n-1) 乘以 n。

说白了，就是要找到原函数的一个等价关系式，f(n) 的等价关系式为 n * f(n-1)，即

f(n) = n * f(n-1)。

这个等价关系式的寻找，可以说是最难的一步了，如果你不大懂也没关系，因为你不是天才，你还需要多接触几道题，我会在接下来的文章中，找 10 道递归题，让你慢慢熟悉起来。

找出了这个等价，继续完善我们的代码，我们把这个等价式写进函数里。如下：

至此，递归三要素已经都写进代码里了，所以这个 f(n) 功能的内部代码我们已经写好了。

这就是递归最重要的三要素，每次做递归的时候，你就强迫自己试着去寻找这三个要素。

还是不懂关系，我再按照这个模式讲一些题。

有些有点小基础的可能觉得我写的太简单了，没耐心看侠，请继续看，我下面还会讲如何优化递归。当然，大佬请随意，可以直接拉动最下面留言给我一些建议，万分感谢！

案例1：斐波那契数列

斐波那契数列的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34….，即第一项 f(1) = 1,第二项 f(2) = 1…..,第 n 项目为 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。求第 n 项的值是多少。

1、第一递归函数功能

假设 f(n) 的功能是求第 n 项的值，代码如下：

2、找出递归结束的条件

显然，当 n = 1 或者 n = 2 ,我们可以轻易着知道结果 f(1) = f(2) = 1。所以递归结束条件可以为  n <= 2。代码如下：

第三要素：找出函数的等价关系式

题目已经把等价关系式给我们了，所以我们很容易就能够知道 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。我说过，等价关系式是最难找的一个，而这个题目却把关系式给我们了，这也太容易，好吧，我这是为了兼顾几乎零基础的读者。

所以最终代码如下：

搞定，是不是很简单/p>

零基础的可能还是不大懂，没关系，之后慢慢按照这个模式练习！好吧，有大佬可能在吐槽太简单了。

案例2：小青蛙跳台阶

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

1、第一递归函数功能

假设 f(n) 的功能是求青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法，代码如下：

2、找出递归结束的条件

我说了，求递归结束的条件，你直接把 n 压缩到很小很小就行了，因为 n 越小，我们就越容易直观着算出 f(n) 的多少，所以当 n = 1时，你知道 f(1) 为多少吧直观吧f(1) = 1。代码如下：

第三要素：找出函数的等价关系式

每次跳的时候，小青蛙可以跳一个台阶，也可以跳两个台阶，也就是说，每次跳的时候，小青蛙有两种跳法。

第一种跳法：第一次我跳了一个台阶，那么还剩下n-1个台阶还没跳，剩下的n-1个台阶的跳法有f(n-1)种。

第二种跳法：第一次跳了两个台阶，那么还剩下n-2个台阶还没，剩下的n-2个台阶的跳法有f(n-2)种。

所以，小青蛙的全部跳法就是这两种跳法之和了，即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。至此，等价关系式就求出来了。于是写出代码：

大家觉得上面的代码对不对/p>

答是不大对，当 n = 2 时，显然会有 f(2) = f(1) + f(0)。我们知道，f(0) = 0，按道理是递归结束，不用继续往下调用的，但我们上面的代码逻辑中，会继续调用 f(0) = f(-1) + f(-2)。这会导致无限调用，进入死循环。

这也是我要和你们说的，关于递归结束条件是否够严谨问题，有很多人在使用递归的时候，由于结束条件不够严谨，导致出现死循环。也就是说，当我们在第二步找出了一个递归结束条件的时候，可以把结束条件写进代码，然后进行第三步，但是请注意，当我们第三步找出等价函数之后，还得再返回去第二步，根据第三步函数的调用关系，会不会出现一些漏掉的结束条件。就像上面，f(n-2)这个函数的调用，有可能出现 f(0) 的情况，导致死循环，所以我们把它补上。代码如下：

有人可能会说，我不知道我的结束条件有没有漏掉怎么办怕，多练几道就知道怎么办了。

看到这里有人可能要吐槽了，这两道题也太容易了吧能不能被这么敷衍。少侠，别走啊，下面出道难一点的。

下面其实也不难了，就比上面的题目难一点点而已，特别是第三步等价的寻找。

案例3：反转单链表。

反转单链表。例如链表为：1->2->3->4。反转后为 4->3->2->1

链表的节点定义如下：

虽然是 Java语言，但就算你没学过 Java，我觉得也是影响不大，能看懂。

还是老套路，三要素一步一步来。

1、定义递归函数功能

假设函数 reverseList(head) 的功能是反转但链表，其中 head 表示链表的头节点。代码如下：

2. 寻找结束条件

当链表只有一个节点，或者如果是空表的话，你应该知道结果吧接啥也不用干，直接把 head 返回呗。代码如下：

3. 寻找等价关系

这个的等价关系不像 n 是个数值那样，比较容易寻找。但是我告诉你，它的等价条件中，一定是范围不断在缩小，对于链表来说，就是链表的节点个数不断在变小，所以，如果你实在找不出，你就先对 reverseList(head.next) 递归走一遍，看看结果是咋样的。例如链表节点如下

我们就缩小范围，先对 2->3->4递归下试试，即代码如下