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为什么要研究板壳单元/p>
由于厚度小、质量轻、耗材少、性能好，使板壳成为具有优良特性的结构元件，不仅广泛应用于各种工程结构作为最基本和最主要的构件，而且在自然界和日常生活中也常常碰见，它们与每个人的生活休戚相关，与人类的生存紧密相连。
人们希望建立一种这样的板弯曲单元，即厚薄板通用单元。这将为工程计算与理论研究带来极大的便利。希望建立一种单元，同时又希望当厚度趋向薄的情形时，该单元的解也能趋于薄板的解。表面上，这对有限元法而言，容易实现，而实际上，当厚度趋于零时，并不能收敛于薄板数值解，出现所谓的剪切闭锁现象。（剪切锁死(shear locking),简单地说就是在理论上没有剪切变形的单元中发生了剪切变形，该剪切变形也常称伴生剪切。）
板壳单元分析的历史
板壳结构的分析的故事起源于18世纪，Euler最先探索了板的弯曲问题。1850年，Kirchoff给出了第一个完善的薄板弯曲理论，接着Aron（1874）做了薄壳的分析工作。1945年Reissner放松了Kirchhoff假设，考虑了横向剪切变形的影响，因而，使其能够应用于中厚板壳，随后Mindlin（1951）也以略为不同的方式放松了该假设。
1977年，Hughes首先提出基于Mindlin理论的双线性四节点四边形板单元。该单元考虑横向剪切效应，因此适于中厚板，同时若选择适当的高斯积分点，亦可分析薄板问题。但是当板较厚时，由于存在零能模式使计算结果出现震荡，为此Hughes提出修正积分法。（零能模式(zero-energy mode)：采用一阶减缩积分时会出现零能模式，即单元只有一个积分点，在受弯时该积分点没有任何的应变能，此时此单元没有任何刚度，就无法抵抗变形。）
板壳结构是三维实体结构的特殊形式，为了简化求解，远在实体单元可行之前，就引入了几种经典的假设对板壳单元进行计算，其中以Kirchhoff假设和Reissner-Mindlin假设的两类板壳理论最为常用。
Kirchhoff (基尔霍夫) 薄板壳理论
基于Kirchhoff假设的经典薄板壳理论，忽略了剪切变形的影响，常适用于薄板壳结构分析；
Kirchhoff理论的基本假设有三个：
（1）平行于壳中面的各层互不挤压；
（2）直法线假定：变形前垂直于中面的直线段，在变形后仍保持为直线且垂直于变形后的中面，这相当于忽略横向剪切变形；
（3）中面内无平行于中面的位移。
基于上面的假定，我们可以理解为板上的直线元最初垂直于中面，变形后它仍然垂直于变形后的中面；中面上的所有纤维是不可伸长的。从上可以得到通过该理论来推出这个薄变形体的近似数学理论，如果薄板任一部分的线性尺寸和截面尺寸的大小是同一数量级的，那么一般弹性力学方程在它的任何一个微小部分都适用。这段薄板的运动方程可以由其变形运动学的一阶近似简化得到。
Reissner-Mindlin (瑞斯纳-明德林) 中厚板壳理论
基于Reissner-Mindlin假设的中厚板壳理论，则考虑了剪切变形的影响，适用于中等厚度的板壳结构分析。
（注意：很厚很厚的实体块(如坝体)，可用实体单元，也可视问题简化采用平面应变/平面应力）
Mindlin/Reissner 理论的基本假定是：
（1）与壳的厚度相比，位移是微小的；
（2）垂直于中面的应力忽略不计；
（3）变形前垂直于中面的直线，变形后仍保持为直线，但不一定再垂直于中面；
（4）挠度和法线转角为各自独立的场函数。
经典的板壳理论是基于Kirchhoff假设的，忽略了横向剪切变形对板、壳变形的影响，能很好的处理薄的板壳问题，但随着厚度的增加，会产生很大的误差。可见Mindlin/Reissner 壳保持了一些Kirchhoff壳的特点，但由于不忽略剪切变形，使变形前垂直于中面的直线变形后不再垂直于中面，转角变形中应包括非均匀的平均剪切变形。
Mindlin/Reissner 理论其中比较典型的有三种：①Reissner理论；②Mindlin理论；③高阶剪切变形理论。
Reissner首先采用直线假定，认为变形前垂直于中面的直法线变形后仍为直线，但不再为法线，以代替Kirchhoff假定中的直法线假设，考虑了横向剪切变形的影响，同时计及了法向应力和应变的影响，采用Lagrangian乘子的变分法导出基本方程。之后Mindlin发展了Reissner理论，该修正理论的应用领域扩至厚板壳，我们将其称为Reissner-Mindlin板壳理论，亦为一阶剪切变形理论。
式中：z是垂直于板面的坐标方向。由z向应变为0可得到：
因为薄板的面外应力分量远小于面内应力分量，所以在薄板理论中采用平面应力问题的物理方程（注意平面应力问题的基本假设），于是有
其中，
基于Reissner-Mindlin假设的中厚板壳理论的推导：
选取板的中面为xy平面，x轴与xy平面垂直，板内任一点的位移为：
式中曲率的定义与薄板情况不同，此处定义为：
与薄板不同，剪切板的剪力可直接利用物理方程导出为
各个软件计算结果：
Abaqus实体(对照)-Abaqus壳体-Sap2000厚薄壳-Midas厚薄壳 ：
（注意此处Abaqus壳体为Mindlin-Reissner假设壳体）
板厚为100mm，左厚壳/右薄壳
板厚为500mm，左厚壳/右薄壳
板厚为1000mm，左厚壳/右薄壳
板厚为2000mm，左厚壳/右薄壳
【结果与(误差=(结果-Aba实体结果)/Aba实体结果)对照】
板面外能受力，面内数值巨大无比已经失真：
~路过别擦肩~
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