现代控制理论课程实验三：一阶倒立摆的LQR控制器设计

• 一、实验目的
• 二、实验设备与软件
• 三、实验原理
• • 3.1、被控对象模型及其线性化
  • 3.2、时不变线性连续系统的状态反馈控制与线性二次型最优控制LQR
  • 3.3、实验平台的基本原理与使用指南
• 四、实验内容
• • 4.1、MATLAB仿真结果
  • 4.2、MATLAB程序如下
  • 4.2.1、判断系统的能控与能观性
  • 4.2.2、求系统的极点
  • 4.2.3、进行极点配置
  • 4.3、线性二次型最优控制LQR求出配置极点
• 五、实验室运行结果
• 六、实验总结

1、理解并掌握线性状态反馈控制的原理和方法；
2、理解并掌握LQR控制器设计方法；
3、练习控制性能比较与评估的方法。

二、实验设备与软件

实验设备

• 倒立摆实验台

实验软件

• MATLAB软件

三、实验原理

3.1、被控对象模型及其线性化

倒立摆系统的各量含义与关系如下表和下图。
根据牛顿定律建立系统垂直和水平方向的动力学方程，计及 ，可得到

如下所示

3.3、实验平台的基本原理与使用指南

倒立摆系统的控制结构框图如下

四、实验内容

动手实验与分析：

基于式(6)所示的倒立摆模型(控制摆角和位置)，根据原系统的特点设计LQR最优控制器，并分析参数 和 阵的选取对系统的影响。实物实验前先进行理论分析计算(包括能控性分析和稳定性分析，指标转化计算，可以编制相应的程序计算，也可以手算)，并在MATLAB/Simulink中进行离线数值计算分析，调整相关参数，合适后在倒立摆平台上做在线实验，比较仿真结果与实验结果。

4.1、MATLAB仿真结果

系统的MATLAB/Simulink仿真图如下

判断系统的能控与能观性运行如下

• 由运行结果可知，系统可控、客观。

4.2.2、求系统的极点

求系统的极点的代码如下

求系统的极点运行结果如下

• 可以知道系统有一个极点在右边，系统不稳定。

4.2.3、进行极点配置

ζ=0.8、ζ=0.707、ζ=0.316
设计状态反馈阵时，要使系统的极点设计成具有两个主导极点，两个非主导极点，这样就可以用二阶系统的分析方法进行参数的确定。我们设置系统的最大超调量小于等于8%，调节时间为小于等于5 S。运用超调量的计算公式可以计算出ε= 0.63；ts=5s，可以求得Wn≥0.95。用极点公式为P1,2=-εw + iw√1-εz,得到两个配置的共轭极点为: -0.6士0.74i。选取非主导极点距虚轴的距离为主导极点距虚轴的距离的5倍以上：所以可以两个非主导极点为：-10。

进行极点配置MATLAB程序代码如下：

进行极点配置运行如下

MATLAB仿真如下

• 由仿真结果可知，线性二次型最优控制LQR求出配置极点，使系统的调节时间降低到了2s，摆杆的摆动幅度更小。

五、实验室运行结果

在实验室进行实物倒立摆的控制，设计的控制模型与系统的运行结果如下

控制系统模型

系统在扰动下的运行结果

一阶倒立摆的LQR控制器设计的实验总结如下几点所示

• 1、通过实验，理解并掌握了线性状态反馈控制的原理和方法。运用状态反馈可以配置系统的极点到任意的位置。
• 2、理解并掌握LQR控制器设计方法。
• 3、通过实验掌握了利用状态反馈配置极点的前提：对系统进行能控与能观性的判断。
• 4、通过实验，加强了动手实践与理论相结合的能力。