算法系列—回溯法

关键字：深度优先搜索

一、基本概念：      回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。

     回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。

     许多复杂的，规模较大的问题都可以使用回溯法，有“通用解题方法”的美称。

二、算法基本思路和实现步骤：        在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。（其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法）。

       若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。而若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。

       基本思想类似于：图的深度优先搜索、二叉树的后序遍历。【扩展：分支限界法，按广度优先搜索策略，基本思想同于图的广度优先遍历、二叉树的层序遍历】

       实现步骤：
       1.针对所给问题，确定问题的解空间：

            首先应明确定义问题的解空间，问题的解空间应至少包含问题的一个（最优）解。

       2.确定结点的扩展搜索规则

       3.以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用限界函数（剪枝函数）避免无效搜索。

       总之，具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法。（回溯法 =穷举 + 剪枝）

三、算法特点：
    1. 在搜索过程中动态产生问题的解空间。（重要特性）

四、适用问题       当问题是要求满足某种性质（约束条件）的所有解或最优解时，往往使用回溯法。

      它有“通用解题法”之美誉。

  五、实例分析
    回溯法可以求解很多问题，比如0-1背包问题、n皇后问题、迷宫问题、图的m着色问题等，现就著名的n皇后问题，采用贪心法分析之。

用n元组x[1；n]表示n后问题的解。其中，x[i]表示皇后i放置在棋盘的第i行的第x[i]列。由于不容许将2个皇后放在同一列上，所以解向量中的x[i]互不相同。2个皇后不能放在同一斜线上是问题的隐约束。对于一般的n后问题，这一隐约束条件可以化成显约束的形式。如果将n*n 格的棋盘看做二维方阵，其行 从上到下，列 从左到右依次编 为1,2，…n。从棋盘左上角到右下角的主对角线及其平行线（即斜率为-1的各斜线）上，2个下标值的差（行 -列 ）值相等。同理，斜率为+1的每条斜线上，2个下标值的和（行 +列 ）值相等。因此，若2个皇后放置的位置分别是（i,j）和（k,l）,且 i-j = k -l 或 i+j = k+l，则说明这2个皇后处于同一斜线上。以上2个方程分别等价于i-k = j-l 和 i-k =l-j。由此可知，只要|i-k|=|l-j|成立，就表明2个皇后位于同一条斜线上。

   算法分析：

      1、从空棋盘起，逐行放置棋子。

  、如果当前行上没有可合法放置棋子的位置，则回溯到上一行，重新布放上一行的棋子。

   static long sum;

Place（int）即尝试看是否可以，如果不可以则回退到t+1层，再尝试其他的组合。

这里也道出了回溯算法的核心思想：但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择

文章知识点与官方知识档案匹配，可进一步学习相关知识算法技能树首页概览34618 人正在系统学习中