《结构分析的有限元法与MATLAB程序设计》笔记

有限元书籍

目前求解PDE的数值方法：FEM（有限单元法）、DEM（离散元）、FVM（有限体积法）、X-FEM（扩展有限元）、FDM（有限差分法）、LBM（玻尔兹曼格子法）、SPH（光滑粒子流体动力学）

朱伯芳《有限单元法原理与应用》
Logan《A first course in finite element method》
Jacob Fish和Ted Belytschko《A first course in finite elements》
Bathe《Finite Element Procedures》
Zienkiewicz《The Finite Element Method for Solid and Structural Mechanics》
Simo和Hughes《Computational Inelasticity》
Ted Belytschko《Nonlinear Finite Elements for Continua and Structures》
Thomas J. R. Hughes《The finite element method: linear static and dynamic finite element analysis》

我看重的是：理论+编程，我现在正在看这两本
徐荣桥《结构分析的有限元法与MATLAB 程序设计》
毕超《计算流体力学有限元方法及其编程详解》

理论：流体力学、弹性力学、材料力学、理论力学

绪论

有限元软件：ANSYS，NASTRAN，ADINA，ABAQUS

结构——单元：结构划分为简单的单元
单元内任意点——单元结点：单元内任意点的物理量由单元结点物理量插值得到

Ritz法：把待求函数用一组已知的试函数的加权和来表示，通过最小势能原理可求解每个试函数的权系数

基本未知量：结点位移、结点力都可以作为基本未知量。所取基本未知量的不同，对应位移法、力法、杂交法和混合法
结点力——结点位移：通过变分法建立力与位移的关系

本书单元：杆系单元，平面单元，三维空间单元，等参数单元，板壳单元

试函数
形函数、位移模式、插值函数

有限元预备知识

平衡方程、几何方程、本构关系

各向异性材料的弹性矩阵

最小势能原理：在所有可能位移中，真实位移使系统总势能取最小值
系统总势能 = 弹性体应变能 + 外载荷势能
最小势能原理：系统总势能的变分为0

通常选择多项式作为位移模式，多项式的项数应等于单元的自由度数，它的阶次应包含常数项和线性项等

杆系单元

杆系的有限元法与矩阵位移法：只是单元选取不同。前者 凡是杆系的交叉点、边界点、集中力作用点都应列为结点，后者 结点是杆的端点。

杆单元

两个结点，每个结点一个自由度
单元位移模式

由形函数矩阵N得到应力矩阵、应变矩阵。B = LN、S = DLN  L是微分算子矩阵

由变分原理得到刚度矩阵

平面梁单元

两个结点，每个结点三个自由度
单元位移模式

如何求解单元形函数矩阵

由形函数矩阵N得到应力矩阵、应变矩阵。B = LN、S = DLN  L是微分算子矩阵

由变分原理得到刚度矩阵

空间梁单元

两个结点，每个结点六个自由度

力与位移的对应：
轴向力——轴向位移
剪力——横向位移
弯矩——弯曲转角
扭矩——扭转角

单元位移模式：
扭转角与轴向位移为线性函数

等效结点力

边界约束条件的处理

温度应力

温度的变化将引起变形和应力，而反过来变形也将产生热量，从而又引起温度的变化，这是一个耦合问题。
如果变形过程中物体的体积保持不变（不可压缩材料），或变化速度非常缓慢，则变形对温度的影响将很小，可以忽略，从而变为非耦合问题。

单元刚度矩阵的坐标变换

局部坐标系——整体坐标系

平面杆单元

平面单元

三维问题：x、y、z（以z方向为例）
平面应力问题：z方向的应力为0

三角形单元

三个结点，每个结点两个自由度
单元位移模式

形函数

B的元素为常数，为常应变单元
S的元素为常数，为常应力单元
相邻单元，位移连续，应力应变突变且为常数

单元刚度矩阵

面积坐标

等效结点力

初应力

矩形单元

单元位移模式（双线性模式）

其他

位移模式：
位移模式必须包含单元的刚体位移
位移模式必须包含单元的常应变（单元内与位置无关的应变为常应变，与位置有关的为变应变）
位移模式在单元内要连续，相邻单元间要协调（相邻单元不开裂也不重叠）

完备单元：满足1、2，协调单元：满足3

多项式位移模式根据巴斯卡三角形选择

对称与反对称

应力值：绕节点平均法

空间单元

四面体单元

四节点，每个结点三个自由度
位移模式

体积坐标

三角形截面环单元

该单元用主坐标描述，位移、应力、应变只是r、z的函数，与θ无关。单元的棱边都是圆，称为结圆，每个结圆与 rz平面的交点就是结点。

空间轴对称问题

三节点，每个结点两个自由度
位移模式

等参数单元

参数单元：形状（几何）不规整的单元，如四节点单元
基准单元/标准单元：形状规整的单元，如矩形单元

需要两个映射：应变矩阵映射，体积元映射。则将物理坐标系下的单元与基准坐标系下的单元建立了关系。

四节点单元

四节点，每个节点两个自由度

单元在整体坐标系下的位移与坐标采用相同的形函数表示

八节点四边形单元

高斯积分

等效结点力

空间轴对称等参元

空间等参元

平面四节点单元对应空间八节点单元
平面八节点单元对应空间二十节点单元

板壳单元

薄板理论/Kirchhoff板理论：忽略了板的横向剪切变形，矩形单元、三角形单元
Mindlin板理论：考虑了板的横向剪切变形，四边形单元

梁理论：欧拉-伯努利梁理论、铁木辛柯梁理论
板理论：Kirchhoff-Love 基尔霍夫板理论、Uflyand-Mindlin （Mindlin-Reissner）明德林板理论
壳理论：薄膜理论（无矩理论）。由平面应力状态和板弯曲应力状态加以简单组合而得到薄壳的应力状态
梁板壳我还需要继续学习。

距离中面距离为z的任意点的位移与应变    

板上的应力与内力

如果直法线假设成立，那么应力

基尔霍夫板

明德林板

补充

小应变理论
有限应变理论
F?ppl-von Kármán 方程
Airy 应力函数

剪切自锁、体积自锁http://www.teesim.com/Theory/FEM09/FEM09.html
论板壳力学中的力学内在逻辑http://blog.sciencenet.cn/blog-39419-427949.html
梁理论的发展历史及其方法论
薄壳与薄板的内禀理论

徐芝纶 弹性力学
平面问题（复变函数解法）
空间问题
能量原理与变分法
弹性波的传播
薄板的小挠度弯曲问题
薄板的振动问题
薄板的稳定问题
薄板的大挠度弯曲问题
壳体的无矩理论

中国农业大学 李明瑞
The finite deformation theory for beam, plate and shell Part I. The two-dimensional beam theory
The finite deformation of beam, plate and shell structures part II. The kinematic model and the Green-Lagrangian strains
The finite deformation theory for beam, plate and shell part III. The three-dimensional beam theory and the FE formulation
The finite deformation theory for beam, plate and shell. Part IV. The Fe formulation of Mindlin plate and shell based on Green–Lagrangian strain
The finite deformation theory for beam, plate and shell. Part V. The shell element with drilling degree of freedom based on Biot strain