学习笔记1——俄罗斯轮盘赌的概率分析

在看电视剧民初奇人传时，有一个场景是两个人进行俄罗斯轮盘赌，突然想到了分析一下两人中枪的概率，然后百度了一下关于俄罗斯轮盘赌概率的话题，在知乎上看到有人说很多软件公司会考类似的概率问题。

他给出了4种情形，弹仓容量为6:

1颗子弹随机分布

2颗子弹随机分布

2颗子弹相邻分布，

2颗子弹间隔一个弹仓分布。

在每种情形下，第1个人中枪的概率是多少第1个人没有中枪的情况下，第2个人中枪的概率是多少是他只给出了答案，没有写出过程。

下面我以自己的思考给出过程，P(1)代表1中枪的概率，1未中枪的概率用P(1未中枪)表示，因为符 实在难打，也没有必要，数字2类似

情形1——1颗子弹随机分布

显然，1中枪的概率P(1)=1/6，等可能概形。1未中枪而2中枪的概率P(2 | 1未中枪)=1/5，条件概率，有些人认为不都是1/6吗，怎么会变成1/5，在赌局开始前，可以认为是1/6，但此时，1未中枪是已经发生的事件，是要考虑的，但此时有P（2和1未中枪都发生）=P（2 | 1未中枪）x P(1未中枪)=1/5 x 5/6=1/6，也就是说1未中枪而2中枪这两个事件同时发生的概率才是1/6.也可以说明，前面的人如果没中枪，后面的人中枪的概率就越来越大，压力会越来越大，符合实际情况。

情形2——2颗子弹随机分布

由于2颗子弹随机分布，所以1中枪的概率是P(1)=1/3，等可能概形。分析一下，2颗子弹随机分布，一共6个位置，所有可能的分布是组合数6选2，一共有15种选法，对于任意位置，每个位置有1×5种放置子弹的方法，所以概率是5/15=1/3。1未中枪而2中枪的概率是P(2 | 1 未中枪)=2/5.分析一下，1未中枪，说明位置1无子弹，那么2颗子弹在位置2到6随机分布，是为组合数5选2，一共有10种选法，而对每个位置有1×4种放置子弹的方法，故概率是4/10=2/5.

2颗子弹随机分布包含情形3和4，也就是说3和4是情形2的特殊情况。

情形3——2颗子弹相邻分布

此时，P(1)=1/3.分析一下，2颗子弹相邻分布，此时用组合数不太适合，可以用下面的图表示分布情况，每天边代表一个分布，一共有6种可能分布每个位置有2条边相邻，所以概率是2/6=1/3。1未中枪而2中枪的概率是P(2 | 1未中枪)=1/4.分析一下，1未中枪，说明位置1没有子弹，即1没有边相邻因此，还剩下4条边，位置2有一条边相邻，故概率是1/4.

搜索的时候还看到一个问题是，左轮手枪装5发子弹开一枪和装1发子弹开5枪，未中弹的概率是多少实是一样的

未中弹时，概率都是1/6，对于装5发子弹开1枪很好理解，分析一下1发子弹开5枪，也就是求连开5枪都未中弹都发生的概率。此时设置P(1)表示1没有中弹的概率，由乘法公式P(12345)=P(5 | 1234)xP(4 | 123)xP(3 | 12)xP(2 | 1)xP(1)=1/2×2/3×3/4×4/5×5/6=1/6.下面对于1发开5枪再分析一下在前 1.2.3.4枪各自未中弹的概率。第1枪显然是5/6，前2枪都未中弹的概率是2/3，前3枪都未中弹的概率是1/2，前4枪都未中弹的概率是1/3。

下面计算一下中弹时的概率。对于5发子弹开1枪，显然中弹概率是5/6.对于1发子弹开5枪，前5枪中弹的概率等于1-P（12345）=1-1/6=5/6，也就是说，前5枪总的中枪概率也是5/6，是一样的。开始计算时，出现了数值带入错误，得到的数值是17/18，结果变成了1发子弹开5枪中弹概率比5发子弹开1枪概率大。再分析一下1发子弹开5枪分别在前1.2.3.4枪各自中弹的概率。第1枪显然是1/6，前2枪中弹的概率是1-P（12）=1-4/5×5/6=1/3,前3枪中弹的概率是1-P（123）=1-3/4×4/5×5/6=1/2,前4枪中弹的概率是1-P（1234）=1-2/3×3/4×4/5×5/6=2/3.通过计算可知概率分布符合实际情况，也就是说，对于1发子弹开5枪，开枪的次数越多，中弹的概率越大。开6枪显然中弹概率就是100%.

结合中弹和未中弹的概率分析，对于5发子弹开1枪，在第1枪时中弹的概率是5/6，比1发子弹开5枪在第1枪时中弹的概率要大许多，对比实际情况，在求生的情况下，1发开5枪明显是个更好的选择，因为，1发开5枪时，在第1枪有更大的概率活下来，虽然对于整体上来说，生存概率是一样的。

有的朋友在某些特定情形计算时会用全概率公式去计算，用全概率公式是算出来的概率是赌局开始之前的情况，而我们求的是某些特定事件已经发生时的概率。后面发生的事件受到了前面发生事件的影响。