逻辑代数及应用

一、逻辑运算

逻辑代数的基本运算有与，或，非三种。

1.基本逻辑运算

1）与运算（逻辑相乘）：当决定一件事情的条件全部具备之后，该事件才会发生。

逻辑表达式为Y=A B

2）或运算（逻辑相加）：只要有一个或一个以上条件具备，这件事就会发生。

表达式Y=A+B

3）非运算（逻辑求反）：条件不具备时才发生，具备时不发生。

表达式Y=A’

下图为与，或，非真值图（用列表的方式表达上述逻辑关系）

 4）同或运算

 2.逻辑代数的基本定理

1）代入定理

对于任意一个逻辑等式，以某个逻辑变量或逻辑函数同时取代等式两端的同一个逻辑变量后等式依然成立。

例如反演律中用BC取代式中的B:（ABC）’＝A’+（BC）’=A’+B’+C’

2）反演定理

对于任意一个逻辑函数F，若将其中所有“+”换成“（点乘）”，“（点乘）”换成“+”，0换成1,1换成0,则得到的结果就是F’。利用反演定理可以方便的求得已知逻辑式的反逻辑式。

注意：使用反演定理时，仍需遵循“先括 ，然后乘最后加”的优先顺序，且不属于单个变量上的反 保持不变。

3）对偶定理

对于任意一个逻辑函数F，若将其中的“+”换成“（点乘）”，“（点乘）”换成“+”，0换成1,1换成0,则得到的结果就是F’。如果两个逻辑函数的表达式相等，那么他们的对偶式也一定相等。

总结：反演是函数运算，对偶偏重等式运算。

三、逻辑函数及其表示方法

逻辑函数：以逻辑变量为输入，以运算结果为输出，表述输入与输出之间逻辑关系的函数称为逻辑函数。

常见的逻辑函数表示方法：真值表逻辑，函数表达式逻辑图，波形图，卡诺图等。

1.真值表

真值表是将输入逻辑变量各种可能取值找出来与相应的函数值排列在一起而组成的表格变量的取值组合，应按照二进制递增的次序排列。

2.逻辑函数表达式

①首先在真值表找出函数值为1的那些变量，每个组合对应着乘积项，

②然后将组合中取值为1的变量写为原变量，取值为0的变量写为反变量，

③最后这些乘积相加则得到逻辑函数表达式。

3.逻辑图

将逻辑函数表达式中对变量之间的与或非等逻辑关系用逻辑图形符 表达出来。

四、逻辑函数的化简

1.公式化简法

1）并项法A+A’=1

2）吸收法A+AB=1

3）消去法A+A’B=A+B

4）配项法A+A’=1，AA’=1

2.卡诺图化简法

①将逻辑函数化为最小项之和

②在卡诺图上与这些最小项对应的位置填入1，其他位置填入0

③根据一定规则合并最小项得到逻辑函数最简式

1）最小项：在含有n个变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，且这n个变量均以原反变量的形式在m中出现过一次，则m为该组变量的最小项。n个变量的最小项应有2。

编 ：每个最小项对应的编 为mi确定方法为，当变量的次序确定时，用1代替原变量，用0代替反变量得到的每个最小项对应的二进制数，与二进制数对应的十进制数则为i。

性质：①对于任意一个最小项只有一组变量，取值是它的值为1，而其余各种变量取值均是它的值为0。

②全体最小项的和为1。

③任意两个最小项的乘积为0。

2）卡诺图

卡诺图就是将n个变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻排列起来所得到的图形。

3）用卡诺图化简逻辑函数图

原理：具有相对性的最小项可以合并并消去不同的因子。

2邻的最小项结合（用n个包围圆圈起来），可以消去n个取值不同的变量而合为一项。

例：2个相邻最小项结合，可以消去一个取值不同的变量，而合并为1项。

原则：1.包围圈尽量大，每个包围圈内只能含有2相邻项（n=1,2,3,……）

2.包围圈个数尽量少

3.卡诺图中所有取值为1均要被圈过

4.取值为1的方格可以被重复在不同包围圈中，且在新画的包围圈中至少要包含有1个未被圈过的方格。

4）卡诺图化简逻辑函数的另一种方法之圈0法

圈0法合并相邻项后得到的是逻辑函数的反函数，此时对反函数取反即可得到原函数的最简式。

5）具有无关项的逻辑函数的化简

在分析逻辑函数时，常常会遇到某些取值组合不会出现，或在输入变量下某些取值下函数值是1或0皆可。我们将这样的取值组合所对应的最小项称为无关项。

用最小项之和表示具有无关项的逻辑函数时，

Y=∑m（）+∑d（）

2）化简无关项的逻辑函数式

在卡诺图中，一般用×表示无关项，使用卡诺图化简逻辑函数式时，要充分利用无关项可以当0也可以当1的特点，尽量扩大包围圆，使逻辑函数式更加简化。