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数学建模案例之线性规划奶制品的生产与销售 内容： 如何建立线性规划模型举例 线性规划模型的求解方法 要求： 掌握线性规划模型的建立方法 掌握利用数学软件 LINDO 、Matlab等求解线性规 划模型的方法 理解单纯形法的计算步骤 重点、难点： 重点：线性规划模型的建立与软件求解 难点：线性规划问题的理论求解方法—单纯形法 简介 线性规划是最简单、应用最广泛的一种数学规划方法，也是 应用最早的一种最优化方法； 线性规划的数学模型是目标函数和全部约束式都是变量的线 性函数； 线性规划是学习运筹学的首要课程之一； 1947年，丹茨格(Dantzig)提出了单纯形法，使线性规划的 算法趋于成熟； 在数学上讲，线性规划问题就是研究一类条件极值问题，即 在一组线性约束条件(包括等式及不等式约束)下，找出一个线 性函数的最大值或最小值。 例1：加工奶制品的生产计划 一奶制品加工厂用牛奶生产A1，A2两种奶制品，一桶牛奶可 以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1，或者在设备乙上用8小时 加工成4公斤A2。根据市场需求，生产的A1、A2全部能够售出，且 每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能够得 到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并 且设备甲每天至多能加工100公斤A1，设备乙的加工能力没有限 制。试为该厂制定一个生产计划，使每天获利最大进一步讨论以下三个附加问题： 1)若用35元可以买到一桶牛奶，应否作这项投资 资，每天最多购买多少桶牛奶)若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的 工资最多是每小时多少元)由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加到30元，应否 改变生产计划题分析 企业内部的生产计划有各种不同的情况。 空间层次 工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最大利润为目 标制订产品生产计划 车间级：根据生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数等，以最小成本 为目标制订生产批量计划 时间层次 若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变化，可制订单阶段生产计 划，否则应制订多阶段生产计划 问题分析 模型构成 引入决策变量 x1 桶牛奶生产 A1， x2 桶牛奶生产 A2 (每天) 目标函数(每天获利) 生产 A1 获利： 24×3×1 生产 A2 获利： 16×4 x2 每天获利总额：z=72×1+64×2 约束条件 原料供应： x1+x2≤50 劳动时间： 12×1+8×2≤480 加工能力： 3×1≤100 非负约束： x1 , x2 ≥0 模型构成 数学模型： 线性规划模型具有的三条性质 LP问题的一般概念 1. LP模型的一般形式 求一组决策变量x1,x2,…,xn的值，使其满足约束条件： 并使目标函数 取得最大(或最小)值，其中 aij,bi,cj为已知量。 LP问题的一般概念 2.标准形式 其中 LP问题的一般概念 3.将一般线性规划模型转化为标准形 例题：将下述LP模型转化成标准形式 解：转化分为目标函数、大于等于约束、小于等于约束和自由约 束变量几个不同部分。 LP问题的一般概念 目标函数 max z=4×1+5×2+7×3-x4 in z1=-4×1-5×2-7×3+x4 约束条件 大于等于约束 x1+x2+2×3-x4 ≥1 添加剩余变量 x5 ≥0 1+x2+2×3-x4-x5=1 小于等于约束 2×1-6×2+3×3+x4 ≤-3 添加松弛变量 x6 ≥0 2×1+6×2-3×3-x4-x6=3 自由变量 (无) LP问题的一般概念 化成标准型为： LP问题的一般概念 4.单纯形法 G.B.Dantzig的单纯形法(Simplex method)是一个顶点 迭代算法，即从一个顶点出发，沿着凸多面体的棱迭代到另一个 顶点，使目标函数值下降(至少不升)，由顶点个数的有限性， 可以证明经过有限次迭代一定可以求得最优解或者判定该问题无 最优解，这就是单纯形法的基本思想。而几何上一个的顶点对应 在代数上的一个基可行解，因此，单纯形法求解线性规划问题只 需要关心基可行解。 LP问题的一般概念 基本理论参见任何一本运筹学教材上的相关内容，下面仅以 一个例子说明单纯形法的步骤。 利用单纯形法求解下述LP问题。

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