牛顿法最初由艾萨克·牛顿在Method of Fluxions，1671年完成，在牛顿死后的1736年公开发表)。约瑟夫·拉弗森也曾于1690年在
f而红线表示切线. 可以看出
x
n+1比
x
n更靠近
f所要求的根
x.
首先，选择一个接近函数
已经证明，如果
不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍。
利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：
一、确定迭代变量
在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个可直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。
二、建立迭代关系式
所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式(或关系)。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。
三、对迭代过程进行控制
在什么时候结束迭代过程编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析得出可用来结束迭代过程的条件。
3示例
欧几里德算法
最经典的迭代算法是
欧几里德算法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：
定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b。假设d是a,b的一个公约数，则有 a%d==0,b%d==0，而r = a – kb，因此r%d==0 ，因此d是(b,a mod b)的公约数
同理，假设d 是(b,a mod b)的公约数，则 b%d==0,r%d==0 ，但是a = kb +r ，因此d也是(a,b)的公约数。
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。
欧几里德算法就是根据这个原理来做的，欧几里德算法又叫辗转相除法，它是一个反复迭代执行，直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。其算法用C语言描述为：
int Gcd_2(int a,int b)/*欧几里德算法求a,b的最大公约数*/
{
if (a
return 0;
int temp;
while (b > 0)/*b总是表示较小的那个数，若不是则交换a，b的值*/
{
temp = a % b;/*迭代关系式*/
a = b;
b = temp;
}
return a;
}
从上面的程序我们可以看到a，b是迭代变量，迭代关系是temp = a % b；根据迭代关系我们可以由旧值推出新值，然后循环执a = b; b = temp；直到迭代过程结束(余数为0)。在这里a好比那个胆小鬼，总是从b手中接过位置，而b则是那个努力向前冲的先锋。
斐波那契数列
还有一个很典型的例子是斐波那契(Fibonacci)数列。
斐波那契数列为：0、1、1、2、3、5、8、13、21、…，即 fib⑴=0; fib⑵=1;fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (当n>2时)。
在n>2时，fib(n)总可以由fib(n-1)和fib(n-2)得到，由旧值递推出新值，这是一个典型的迭代关系，所以我们可以考虑迭代算法。
int Fib(int n) //斐波那契(Fibonacci)数列
{
if (n
return 0;
if (n == 1 || n == 2)/*特殊值，无需迭代*/
return 1;
int f1 = 1,f2 = 1,fn;/*迭代变量*/
int i;
for(i=3; i
{
fn = f1 + f2; /*迭代关系式*/
f1 = f2;//f1和f2迭代前进，其中f2在f1的前面
f2 = fn;
}
return fn;
}
4C语言代码
double func(double x) //函数
{
return x*x*x*x-3*x*x*x+1.5*x*x-4.0;
}
double func1(double x) //导函数
{
return 4*x*x*x-9*x*x+3*x;
}
int Newton(double *x,double precision,int maxcyc) //迭代次数
{
double x1,x0;
int k;
x0=*x;
for(k=0;k
{
if(func1(x0)==0.0)//若通过初值，函数返回值为0
{
printf(“迭代过程中导数为0!n”);
return 0;
}
x1=x0-func(x0)/func1(x0);//进行牛顿迭代计算
if(fabs(x1-x0)
{
*x=x1; //返回结果
return 1;
}
else //未达到结束条件
x0=x1; //准备下一次迭代
}
printf(“迭代次数超过预期！n”); //迭代次数达到，仍没有达到精度
return 0;
}
int main()
{
double x,precision;
int maxcyc;
printf(“输入初始迭代值x0:”);
scanf(“%lf”,&x);
printf(“输入最大迭代次数：”);
scanf(“%d”,&maxcyc);
printf(“迭代要求的精度：”);
scanf(“%lf”,&precision);
if(Newton(&x,precision,maxcyc)==1) //若函数返回值为1
printf(“该值附近的根为：%lfn”,x);
else //若函数返回值为0
printf(“迭代失败！n”);
getch();
return 0;
}
5C++代码
//此函数是用来求一元3次方程ax^3+bx^2+cx+d=0的解
//比如 x^3-27=0，我们就可以输入1 0 0 -27，这样我们就可以得到一个解
#include
#include
using namespace std;
int main()
{
double diedai(double a,double b,double c,double d,double x);
double a,b,c,d;
double x=10000.0;
cout
cin>>a>>b>>c>>d;
x=diedai(a,b,c,d,x);
cout
return 0;
}
double diedai(double a,double b,double c,double d,double x)
{
while(abs(a*x*x*x+b*x*x+c*x+d)>0.000001)
{
x=x-(a*x*x*x+b*x*x+c*x+d)/(3*a*x*x+2*b*x+c);
}
return x;
}
6matlab代码
定义函数
function y=f(x)
y=f(x)；%函数f(x)的表达式
end
function z=h(x)
z=h(x)；%函数h(x)的表达式
end
主程序
x=X;%迭代初值
i=0;%迭代次数计算
while i
x0=X-f(X)/h(X);%牛顿迭代格式
if abs(x0-X)>0.01；%收敛判断
X=x0;
else break
end
i=i+1;
end
fprintf(‘n%s%.4ft%s%d’，’X=’，X，’i=’，i) %输出结果
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