顺序乘法的实现过程
从列出竖式的过程中，你会发现，二进制的乘法有个很大的优点，就是这个过程你不需要背九九乘法口诀表了。因为单个位置上，乘数只能是 0 或者 1，所以实际的乘法，就退化成了位移和加法。在 13×9 这个例子里面，被乘数 13 表示成二进制是 1101，乘数 9 在二进制里面是 1001。最右边的个位是 1，所以个位乘以被乘数，就是把被乘数 1101 复制下来。因为二位和四位都是 0，所以乘以被乘数都是 0，那么保留下来的都是 0000。乘数的八位是 1，我们仍然需要把被乘数 1101 复制下来。不过这里和个位位置的单纯复制有一点小小的差别，那就是要把复制好的结果向左侧移三位，然后把四位单独进行乘法加位移的结果，再加起来，我们就得到了最终的计算结果。对应到我们之前讲的数字电路和 ALU，你可以看到，最后一步的加法，我们可以用上一讲的加法器来实现。乘法因为只有“0”和“1”两种情况，所以可以做成输入输出都是 4 个开关，中间用 1 个开关，同时来控制这 8 个开关的方式，这就实现了二进制下的单位的乘法。
并行加速方法
那么，我们有没有办法，把时间复杂度上降下来呢数据结构和算法的时候，我们总是希望能够把 O(N) 的时间复杂度，降低到 O(logN)。办法还真的有。和软件开发里面改算法一样，在涉及 CPU 和电路的时候，我们可以改电路。32 位数虽然是 32 次加法，但是我们可以让很多加法同时进行。回到这一讲开始，我们把位移和乘法的计算结果加到中间结果里的方法，32 位整数的乘法，其实就变成了 32 个整数相加。前面顺序乘法器硬件的实现办法，就好像体育比赛里面的单败淘汰赛。只有一个擂台会存下最新的计算结果。每一场新的比赛就来一个新的选手，实现一次加法，实现完了剩下的还是原来那个守擂的，直到其余 31 个选手都上来比过一场。如果一场比赛需要一天，那么一共要比 31 场，也就是 31 天。
电路并行
上面我们说的并行加速的办法，看起来还是有点儿笨。我们回头来做一个抽象的思考。之所以我们的计算会慢，核心原因其实是“顺序”计算，也就是说，要等前面的计算结果完成之后，我们才能得到后面的计算结果。最典型的例子就是我们上一讲讲的加法器。每一个全加器，都要等待上一个全加器，把对应的进入输入结果算出来，才能算下一位的输出。位数越多，越往高位走，等待前面的步骤就越多，这个等待的时间有个专门的名词，叫作门延迟（Gate Delay）。每通过一个门电路，我们就要等待门电路的计算结果，就是一层的门电路延迟，我们一般给它取一个“T”作为符 。一个全加器，其实就已经有了 3T 的延迟（进位需要经过 3 个门电路）。而 4 位整数，最高位的计算需要等待前面三个全加器的进位结果，也就是要等 9T 的延迟。如果是 64 位整数，那就要变成 63×3=189T 的延迟。这可不是个小数字啊！除了门延迟之外，还有一个问题就是时钟频率。在上面的顺序乘法计算里面，如果我们想要用更少的电路，计算的中间结果需要保存在寄存器里面，然后等待下一个时钟周期的到来，控制测试信 才能进行下一次移位和加法，这个延迟比上面的门延迟更可观。那么，我们有什么办法可以解决这个问题呢上，在我们进行加法的时候，如果相加的两个数是确定的，那高位是否会进位其实也是确定的。对于我们人来说，我们本身去做计算都是顺序执行的，所以要一步一步计算进位。但是，计算机是连结的各种线路。我们不用让计算机模拟人脑的思考方式，来连结线路。那怎么才能把线路连结得复杂一点，让高位和低位的计算同时出结果呢才能让高位不需要等待低位的进位结果，而是把低位的所有输入信 都放进来，直接计算出高位的计算结果和进位结果呢 我们只要把进位部分的电路完全展开就好了。我们的半加器到全加器，再到加法器，都是用最基础的门电路组合而成的。门电路的计算逻辑，可以像我们做数学里面的多项式乘法一样完全展开。在展开之后呢，我们可以把原来需要较少的，但是有较多层前后计算依赖关系的门电路，展开成需要较多的，但是依赖关系更少的门电路。我在这里画了一个示意图，展示了一下我们加法器。如果我们完全展开电路，高位的进位和计算结果，可以和低位的计算结果同时获得。这个的核心原因是电路是天然并行的，一个输入信 ，可以同时传播到所有接通的线路当中。
总结延伸
讲到这里，相信你已经发现，我们通过之前两讲的 ALU 和门电路，搭建出来了乘法器。如果愿意的话，我们可以把很多在生活中不得不顺序执行的事情，通过简单地连结一下线路，就变成并行执行了。这是因为，硬件电路有一个很大的特点，那就是信 都是实时传输的。我们也看到了，通过精巧地设计电路，用较少的门电路和寄存器，就能够计算完成乘法这样相对复杂的运算。是用更少更简单的电路，但是需要更长的门延迟和时钟周期；还是用更复杂的电路，但是更短的门延迟和时钟周期来计算一个复杂的指令，这之间的权衡，其实就是计算机体系结构中 RISC 和 CISC 的经典历史路线之争。
推荐阅读
如果还有什么细节你觉得还没有彻底弄明白，我推荐你看一看《计算机组成与设计：硬件 / 软件接口》的 3.3 节。
课后思考
这一讲里，我为你讲解了乘法器是怎么实现的。那么，请你想一想，如果我们想要用电路实现一个除法器，应该怎么做呢注意一下，除法器除了要计算除法的商之外，还要计算出对应的余数。欢迎你在留言区写下你的思考和疑问，和大家一起探讨。你也可以把今天的文章分享给你朋友，和他一起学习和进步。 确认放弃笔记 放弃后所记笔记将不保留。 新功能上线，你的历史笔记已初始化为私密笔记，是否一键批量公开 批量公开的笔记不会为你同步至部落 公开同步至部落 取消 完成 0/2000 划线笔记 复制
31人觉得很赞给文章提建议
? 版权归极客邦科技所有，未经许可不得传播售卖。 页面已增加防盗追踪，如有侵权极客邦将依法追究其法律责任。
声明：本站部分文章及图片源自用户投稿，如本站任何资料有侵权请您尽早请联系jinwei@zod.com.cn进行处理,非常感谢！