详解卡尔曼滤波原理
什么是卡尔曼滤波strong>
你可以在任何含有不确定信息的动态系统中使用卡尔曼滤波，对系统下一步的走向做出有根据的预测，即使伴随着各种干扰，卡尔曼滤波总是能指出真实发生的情况。
在连续变化的系统中使用卡尔曼滤波是非常理想的，它具有占用内存小的优点（除了前一个状态量外，不需要保留其它历史数据），并且速度很快，很适合应用于实时问题和嵌入式系统。
在Google上找到的大多数关于实现卡尔曼滤波的数学公式看起来有点晦涩难懂，这个状况有点糟糕。实际上，如果以正确的方式看待它，卡尔曼滤波是非常简单和容易理解的，下面我将用漂亮的图片和色彩清晰的阐述它，你只需要懂一些基本的概率和矩阵的知识就可以了。
我们能用卡尔曼滤波做什么strong>
用玩具举例：你开发了一个可以在树林里到处跑的小机器人，这个机器人需要知道它所在的确切位置才能导航。
或许我们知道一些机器人如何运动的信息：例如，机器人知道发送给电机的指令，知道自己是否在朝一个方向移动并且没有人干预，在下一个状态，机器人很可能朝着相同的方向移动。当然，机器人对自己的运动是一无所知的：它可能受到风吹的影响，轮子方向偏了一点，或者遇到不平的地面而翻倒。所以，轮子转过的长度并不能精确表示机器人实际行走的距离，预测也不是很完美。
GPS 传感器告诉了我们一些状态信息，我们的预测告诉了我们机器人会怎样运动，但都只是间接的，并且伴随着一些不确定和不准确性。但是，如果使用所有对我们可用的信息，我们能得到一个比任何依据自身估计更好的结果吗当然是YES，这就是卡尔曼滤波的用处。
卡尔曼滤波是如何看到你的问题的
下面我们继续以只有位置和速度这两个状态的简单例子做解释。
卡尔曼滤波假设两个变量（位置和速度，在这个例子中）都是随机的，并且服从高斯分布。每个变量都有一个均值 μ，表示随机分布的中心（最可能的状态），以及方差
在上图中，位置和速度是不相关的，这意味着由其中一个变量的状态无法推测出另一个变量可能的值。下面的例子更有趣：位置和速度是相关的，观测特定位置的可能性取决于当前的速度：
（当然，在这里我们只用到了位置和速度，实际上这个状态可以包含多个变量，代表任何你想表示的信息）。接下来，我们需要根据当前状态（k-1 时刻）来预测下一状态（k 时刻）。记住，我们并不知道对下一状态的所有预测中哪个是“真实”的，但我们的预测函数并不在乎。它对所有的可能性进行预测，并给出新的高斯分布。
现在，我们有了一个预测矩阵来表示下一时刻的状态，但是，我们仍然不知道怎么更新协方差矩阵。此时，我们需要引入另一个公式，如果我们将分布中的每个点都乘以矩阵 A，那么它的协方差矩阵
结合方程（4）和（3）得到：
以矩阵的形式表示就是：
原始估计中的每个状态变量更新到新的状态后，仍然服从高斯分布。我们可以说
这产生了具有不同协方差（但是具有相同的均值）的新的高斯分布。
注意，传感器读取的数据的单位和尺度有可能与我们要跟踪的状态的单位和尺度不一样，我们用矩阵
我们可以计算出传感器读数的分布，用之前的表示方法如下式所示：
从测量到的传感器数据中，我们大致能猜到系统当前处于什么状态。但是由于存在不确定性，某些状态可能比我们得到的读数更接近真实状态。
我们必须在预测值（粉红色）和传感器测量值（绿色）之间找到最优解。
那么，我们最有可能的状态是什么呢任何可能的读数
剩下的就是重叠部分了，这个重叠部分的均值就是两个估计最可能的值，也就是给定的所有信息中的最优估计。
瞧！这个重叠的区域看起来像另一个高斯分布。
将式（9）代入到式（10）中（注意重新归一化，使总概率为1）可以得到：
下面进一步将式（12）和（13）写成矩阵的形式，如果 Σ 表示高斯分布的协方差，
矩阵
由式（14）可得卡尔曼增益为：
总结
以上所有公式中，你只需要用到式（7）、（18）、（19）。（如果忘了的话，你可以根据式（4）和（15）重新推导一下）
我们可以用这些公式对任何线性系统建立精确的模型，对于非线性系统来说，我们使用扩展卡尔曼滤波，区别在于EKF多了一个把预测和测量部分进行线性化的过程。
（ps: 第一次用Markdown，添加图片和公式心累啊，什么时候能直接拖拽就好了~~）
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