《测绘学 》
构建与学术的桥梁 拉近与权威的距离
辅助纬度与大地纬度间的无穷展开
陈成1
1. 海军工程大学导航工程系, 湖北 武汉 430033;
2. 中铁第一勘察设计院集团有限公司, 陕西 西安 710043;
3. 甘肃铁道综合工程勘察院有限公司, 甘肃 兰州 730000
收稿日期：2018-01-05；修回日期：2018-10-27
基金项目：国家自然科学基金（41631072；41574009；41474061）
关键词：辅助纬度 大地纬度 偏心率 拉格朗日反演定理 古德曼函数
Infinite expansions of the auxiliary latitudes with respect to the geodetic latitude
CHEN Cheng1, JIN Lixin2,3, BIAN Shaofeng1, LI Songlin1
1. Department of Navigation, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China;
2. China Railway First Survey and Design Institute Group Co. Ltd., Xi’an 710043, China;
3. The General Engineering Survey Institute of Railways of Gansu Co. Ltd., Lanzhou 730000, China
Foundation support: The National Natural Science Foundation of China (Nos. 41631072; 41574009; 41474061)
First author: CHEN Cheng(1990—), male, PhD candidate, majors in map projection and earth gravity field. E-mail:chenchengzyq@163.com.
Abstract: By using the theory of infinite series and the Lagrange inversion theorem, the infinite expansions of the auxiliary latitudes in geodesy and cartography with respect to the geodetic latitude are given, which are the power series of the first eccentricity of the reference ellipsoid. The inverse solutions of the isometric and the conformal latitudes can be obtained from the recurrences of a number of known coefficients. The forward expansion of the conformal latitude is proposed on the basis of the Taylor expansion of the Gudermannian function, and the forward expansion of the rectifying latitude is given in which the coefficient can be expressed as a explicit determinant by the division of power series. Compared the coefficients of the auxiliary latitudes expansions at ordere0toe40with the results by the computer algebra system Mathematica and the corresponding cost time, the algorithm of this paper is verified to be correct and fast. By taking CGCS2000 reference ellipsoid, the numerical experiment is made for the expansions and then the correctness is further proved.
Key words: auxiliary latitude geodetic latitude eccentricity Lagrange inversion theorem Gudermannian fuction
1 等量纬度展开式
由文献[4, 14]，等量纬度q与大地纬度B的关系式为
式中，e是椭球第一偏心率，为一个小参数，gd-1(x)=arctanh(sinx)，为古德曼函数的反函数[15-16]。当大地纬度趋近于极点时，等量纬度趋向于无穷大。在进行数值计算时，为了避免舍入误差，gd-1(x)通常修正为gd-1(x)=arcsinh(tanx)。
根据反双曲函数的级数展开，等量纬度可展开成无穷级数
(2)
等量纬度与大地纬度的反解可通过等角纬度与大地纬度的反解展开式和等量纬度与等角纬度的闭合关系式而得到，但是等量纬度与大地纬度的反解也有直接关系式。为求得等量纬度与大地纬度的反解展开，应用拉格朗日反演定理[17]，有
(3)
式中，gd(x)=arcsin(tanhx)，为古德曼函数[15-16]。同样，为了避免舍入误差，取计算式gd(x)=arctan(sinhx)。
现在来求得一个有用的级数恒等式，利用组合函数和幂级数的性质[16]，可得
(4)
式中，系数ζmk用递推形式表示为
(5)
部分系数为
(6)
令
将式(7)和式(4)代入式(3)得
(8)
通过逐次微分运算，可以建立递推式
(9)
进一步可得系数递推式
式中，初始值F00=1，0≤t≤m－1，r=－(t+1)+2r′，其中0≤r′≤t+1，－(t+1)≤r≤t+1。当|r|>t时，Frt=0，特别地
(11)
(12)
式(10)中的系数递推关系可用图解表示，如图 1所示。
图 1 Frt递推关系Fig. 1 Recursion relations for Frt
部分系数Frt为
(13)
因此，有
(14)
或者
(15)
式中，系数
(16)
相对于式(10)、式(13)中系数Frt的m、k，式(16)中对应的为m－k+s、k－s。式(14)和式(15)即为等量纬度与大地纬度的反解展开式，给出了一般项系数的计算式，是一种一般式。实际应用中，为了避免舍入误差，一般展开到e12或者n6(n为第三扁率[14])，系数ηmk可用矩阵表示为(0≤k≤m－1)
(17)
特别地，有ηm0=F－m+1m－1ζm0=1，因此
(18)
式中，e′为椭球第二偏心率。
n与e的关系式为
(19)
2 等角纬度展开式2.1 古德曼函数的泰勒展开
根据泰勒展开定理，古德曼函数在有一增量Δ时，可表达为
(20)
式中，gd(m)(x)为古德曼函数对自变量的m阶导数。
利用导数递推公式和数学归纳法，容易得到
(21)
式中，系数G11=－H11=1，当k=0或k>m时Gmk=Hmk=0，其他情况可由下列递推公式计算
(22)
或者
(23)
特别地，有
(24)
以及一些低阶系数
(25)
(26)
反正弦函数也有类似的泰勒展开，可用于求解等面积纬度的展开式。但由于等面积纬度与大地纬度的关系式存在多层函数嵌套，很难求得一个简洁的无穷展开式，需借助Mathematica或者Maxima软件来求解一定阶的级数展开式。
2.2 等角纬度的正解展开式
根据文献[4, 14]，等角纬度φ与大地纬度的关系式为
将式(2)、式(4)代入式(27)，得
(28)
不难得到
(29)
(30)
(31)
式中，Cpr=(－1)pC2m+1m－pC2k+1k－r，0≤p≤m，0≤r≤k。
取当且仅当m为奇数且l=(m+1)/2时δml=0，其余情况为δml=1，以及
(32)
利用恒等式sinh(gd-1B)=tanB和cosh(gd-1B)=secB，连同式(20)、式(28)—式(31)，可得
(33)
式中，系数
(34)
(35)
2.3 等角纬度的反解展开式
将式(27)代入式(14)，并利用恒等式tanhq=sinφ和sechq=cosφ，有
(36)
因此
(37)
式中
(38)
或者
(39)
(40)
3 等距离纬度展开式
根据文献[4, 21]，等距离纬度ψ与大地纬度的关系式为
(41)
式中，X为子午线弧长，R为等距离半径，分别为(取椭球常半轴为单位长度)
(42)
(43)
根据幂级数展开或者傅里叶级数展开方法[21-22]，可得
(44)
(45)
式中，系数x0=B,r0=1，
(46)
(47)
从式(44)、式(46)可以看出，子午线弧长X展开式关于大地纬度线性项的系数就是等距离半径R。因此，根据级数除法公式[16]，有
(48)
式中，系数
(50)
或者
(51)
由于rk=xk0(k≥1)，式(51)中行列式第一列rkx0－r0xk关于B的线性项rkx0－r0xk0B为0，对bm的计算没有影响，这也是显然的。因此，在计算bmk时，可以去除所有关于B线性项和正弦项sin2lB(l≠k)，再通过行列式的逐次运算，可进一步得到
(52)
特别地
(53)
(54)
对于等距离纬度关于大地纬度的反解展开式，可以根据正解公式，运用拉格朗日反演方法，或者直接建立常微分方程
(55)
再根据小参数展开的庞加莱方法[23]
(56)
(57)
4 算例分析
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