古代编钟是按照纯律制造的
我们在学音乐时，有时会奇怪，为什么在音程中，1-4，1-5叫”“纯四度”“纯五度”，而其它几种音程却叫做“大二度”“大三度”“大六度”“大七度”？前面哪两种真的比后面这几种更“纯”吗？“纯”在哪里？
我们还经常听说“纯律”“平均律”，为什么叫做“纯律”“平均律”？有什么区别？我们现在用的是哪种律制？为什么要用这种？
我觉得这些知识非常有趣，多年前我还曾经用十二平均律在电脑上制作过能转调的电子琴软件，愿意将自己在学习中的快乐拿出来，供大家同乐，供老师指正。
一，音高与弦长比
古代的人们弹琴时发现，在不同的音高之间，其弦长之比恰好形成有趣的数学关系。
假如弹一根空弦，音高恰为中音C，那么按住弦的正中再弹，就变成高音C，此时整个弦只有一半在振动。也就是说，这两个相隔八度的音之间，弦长比恰好为2比1。当然，我们知道，这两个音之间的关系是最和谐的。
然后再分析，又发现C与G（1与5）之间的弦长比为3比2，这是除了八度音程之外最和谐的音程。而C与F（1与4）之间的弦长比为4比3，也很和谐。
于是我们从中可以发现一个规律——这八个自然音程之间的弦长比都是整数比，从上表可以看出，越和谐的音，它们之间的弦长比就越简单，即分子分母的数字越小。如果我们把这几种音程的弦长比按照从最简单到最复杂排一个队，在琴上弹一弹就会发现，比值越简单的越和谐，越复杂的越不和谐。
其实从物理学的角度非常容易理解这种现象，我们知道，声音是一种波，波长与弦长成正比，而声音的波长也可以用人的步长来比喻。因为声音的传播与人的走路很相象，都是周期运动。
比如从C到B七个音是七兄弟，老大（C）步伐最长，其余兄弟步伐依次减小，而老大的儿子（高音C）步伐更小，恰好等于老大的一半。于是，老大迈一步，儿子恰好迈两步，如此，则老大每一步都能与儿子合上拍，自然非常和谐。
当然，更和谐的就是同音组合（一度音程），就像老大跟他的孪生兄弟，步伐完全一样长，步步合拍，不过这样就太单调了一点儿，缺乏变化。
老大迈两步时，老五（G）恰好迈三步，这样，老大每迈两步就能与老五合一次拍。同理，老大每迈三步时，老四（F）迈四步，合一次拍。也很和谐。
但老大与老二（D）、老七（B）之间就很难合拍，老大必须走8步，同时老二（D）走9步，或老七（B）走15步，才能合上一次拍，这就显得非常零乱。
根据《辞海》，“物体有规律的振动产生乐音”，而“无规律的组合即成噪音”，显然，规律性越简单明显，声音也就越和谐好听，而规律越复杂就越不和谐。这就是为什么波长比例越简单的两个音，听起来越和谐的根本原因。
世界各民族最初创造音乐时，全都不约而同地产生了这样七个音，而且恰好都符合整数比，可见这是大自然本身的法则，人类无法随意创编篡改。
最初发现这些规律的主要是古希腊的毕达哥拉斯学派，他们是一些数学家，狂热追求自然界中数字的和谐，因此对音律和谐之美非常感兴趣。
中国古人也是独立做出了同样发现，虽然主要用“五声音阶”——宫、商、角、徵（zhi）、羽，但另外还有“变宫”“变徵”这两个半音，加起来也同样是“七声音阶”。
后来人们在创立了物理声学之后才发现，这些音之间的弦长比之所以有这样的关系，其实本源在于它们的频率之间具有同样的比值关系，见下表：
古琴就是按照弦长比来决定音高的
二，纯、大、小、增、减各音程
按照习惯的规定，1-2，1-3，1-4，1-5，1-6，1-7，1-i，依次叫做大二度、大三度、纯四度、纯五度、大六度、大七度、纯八度。
在这七组关系中，有三组叫做“纯X度”，其它则叫“大X度”，为什么这么叫？很明显，只有这三组（1-i，1-5，1-4）之间的比值最简单（2/1，3/2，4/3），或者说最单纯，听起来也最和谐，于是叫做“纯X度”。
为什么叫“纯律”？因为古人在制作乐器时，总是先从这几组最单纯的“纯音程”为基础开始调音，再一步步扩大，建立起全部音程关系的，所以这种以“纯音程”为基础的律制就叫做“纯律”。
其它几组则不如这三组和谐，所以我们不叫它“纯X度”。尤其cd（1和2）之间，cb（1和7）之间最不和谐，最难听，它们之间的比值也最复杂（9/8，15/8）。
那么它们为什么要叫“大X度”，而不叫“小X度”？因为在自然音程中，它们之间的关系的确比较“大”。
比如c和d（1和2）之间，相隔一个全音，而e和f（3和4）之间，只相隔半个音，显然，cd之间要比ef之间差得“大”，它们同样都是二度关系，但差别有大有小，所以cd叫“大二度”，ef叫“小二度”。
同理，“大三度”“大六度”“大七度”都是因为在自然音程中，它们在三度、六度、七度关系中相隔得比较大。
比如e和g（3和5）也是三度，但只相隔一个全音加一个半音，所以叫“小三度”。
总结起来，这七组音程之间的关系是；
1-2，大二度，相隔一个全音（1）
1-3，大三度，相隔两个全音（2）
1-4，纯四度，相隔两个全音和一个半音（2.5）
1-5，纯五度，相隔三个全音和一个半音（3.5）
1-6，大六度，相隔四个全音和一个半音（4.5）
1-7，大七度，相隔五个全音和一个半音（5.5）
1-i，纯八度，相隔五个全音和两个半音，实际上相隔六个全音（6）
另外要注意的是，并非只有1-4才叫做“纯四度”，只要两个音之间的差别符合以上全音半音的组合，就可以有同样的音程名称。比如2-5也是相隔两个全音和一个半音，与1-4的情况一样，所以也可以叫做“纯四度”。同理，2-6也可以叫做“纯五度”，2-7也可以叫做“大六度”。
如果两个音之间的差别不能包括在以上七种纯音程、大音程里，就需要有小音程、增音程和减音程。这样的情况可以分为三种：
1，四、五、八音程
它们有纯、增、减三种区分。
我们知道，纯四度、纯五度、纯八度都是纯音程，如果比纯音程多半个音，就叫做增音程，少半个音，就叫做减音程。
比如4-7也是四度音程，但相隔三个全音（3），而1-4只相隔两个全音和一个半音（2.5），所以4-7叫“增四度”。
再比如7-高音4，为五度音程，但相隔两个全音加两个半音，即三个全音（3），而1-5则相隔三个全音和一个半音（3.5），所以7-高音4叫“减五度”。
2，二、三、六、七音程
它们有大、小、增、减四种区分。
比大音程多半个音的叫增音程，比大音程少半个音叫小音程，比小音程再少半个音则叫减音程。
比如3-4为二度，只相隔半个音，比大二度的1-2少半个音，所以叫“小二度”。
同样，3-i是六度，但比大六度1-6少半个音，所以叫“小六度”。
3，带临时升降 的音程
上面举的例子都是自然音程，C调白键，如果加了临时升降 ，我们也同样能计算出两音之间的距离。
比如b3-i，3-i，3-#i，b3-#i，都是六度音程，但根据它们之间相隔的距离，我们可以算出来它们叫什么音程。
我们从上面已知3-i是小六度，而b3-i，3-#i都比它多半个音，所以都叫大六度，而b3-#i比大六度还多半个音，所以叫“增六度”。
从以上对比中我们知道，四、五、八音程只能分为“纯、增、减”三种情况，而二、三、六、七音程可分为“大、小、增、减”四种情况，由此也可看出，“纯音程”与其它音程确实有本质不同，所以只有它们才能叫做“纯”。
三，协和音程与不协和音程
我们前面讲过，在1-2，1-3，1-4，1-5，1-6，1-7，1-i这几组音中，纯八度、纯五度、纯四度音程最和谐，大二度、大七度最不和谐。其它两组（1-3）（1-6）比较和谐。于是我们把所有音程（包括纯、大、小、增、减）分为两大类——协和音程与不协和音程。
协和音程包括纯音程、大、小三度，大、小六度。不协和音程则包括增减音程，二度、七度音程。
不协和音程给人一种不稳定的感觉，有进入协和音程的强烈倾向。
我们用数学和物理的语言说，所谓协和音就是两音的频率之间为简单整数比，而不协和音之间的频率比就比较复杂。或者说，有简单整数比的音频组合听起来就舒服，就美。正如古希腊哲学家所指出的：简单、和谐就是美。宇宙的结构是这样，看不见的声音也是这样。
我们把上面各种音程之间的关系列表如下：
四，十二平均律
上面我们说了古人一开始都是按照纯律来造琴，但实际上我们现在使用的键盘乐器采用的并不是纯律，而是“十二平均律”。（李约瑟认为，十二平均律是由中国明代皇族后裔，音乐家朱载堉发明的，传到西方后，再由德国音乐家巴赫推广。这一说法值得怀疑。）
也就是说，现在键盘上每个音的频率并不是严格按照上文中所列表格的纯律频率制作的，而是稍微有一点差别，见下表：
为什么现代的键盘乐器不用纯律呢？原因很简单——转调不方便。
比如，我们想从C调转为D调，即以D音做为1，那么A音就成了5，然而A音与D音的频率比就不再是严格的3/2，我们根据上表一算便知，它是3/2.024，也就是说，D音和A音之间无法形成严格的纯五度关系，声音就不那么和谐了。
其它几组音程也都有这样的问题。也就是说，如果我们完全按照纯律关系制作一架钢琴，那它只有C调才完全符合纯律，转成其它调就不和谐了。我们为了弹D调，就必须再另外制作一架D调钢琴，弹12个调就得制作12架钢琴，不是太麻烦了吗？
这不是开玩笑，比如笛子就分别做成很多不同的调，常用的有C、D、E、F、G、A、B等各调的笛子，而钢琴显然不适合这样做。
古代最早的键盘只有白键，只能弹简单的曲子。
把拨弦和键盘结合起来的古钢琴，只有白键，无法转调
后来为了弹复杂曲子，就需要加黑键，加半音。但一转调，原来的音就不和谐了。而且按照纯律，一对全音，比如C和D，它们之间的升半音（#C）和降半音（bD）并不是同一个音，稍微有点差别。于是有人就再增加键，在八度之内，既有升半音、降半音，还有重升、重降，共计35个键。而整个琴的键就更多了，而且长短宽窄各不相同，非常复杂，简直没法儿弹。
我们能不能只制作一架琴，只用最少的，最整齐的键，却可以轻松转换各种调，而且各调都同样和谐呢？正是出于这样的要求，人们发明了十二平均律。
这种革新不是只在键盘上做文章，而是直接改动原纯律各音的频率，即高低，将八度平均分为十二个音程相等的半音，要求这12个音，每相邻两个音之间的比值完全相等，即组成一个“等比数列”。这就是十二平均律。
只要稍微运用一点儿中学学过的等比数列的公式，我们就能算出，这个比值（即等比数列的公比）为12√2（2的12次方根），即1.05946。也就是说：
#C的频率为C的1.05946倍
D的频率为#C的1.05946倍
#D的频率为D的1.05946倍
………………………………
以此类推，我们就能建立起一组新的音阶。因为每两个相邻音之间的比值完全相等，所以无论转成什么调，各音程之间的比例关系也都是一样的。换句话说，C调、#C调、D调、#D调、E调……它们的音程关系，各音程之间的和谐程度都是与C调完全一样的。
在平均律中，#C与bD就成了同一个音，以此类推，各个全音之间的升降半音都成了同一个音，减少了许多只有细微差别的半音。
这样，我们只要制作一架琴，八度内只有12个键，就能轻松弹出各种调来，其中任何一个音都能当音阶的主音（大调为1，小调为6）。这就是我们现在普遍使用的键盘。
不过需要注意的是，按照十二平均律，各音的频率与纯律相比，有些音不大相同，音高有细微的差别，但人耳一般是听不出来的。所以，用十二平均律原理制作的琴，弹起来也同样的和谐好听。
除了现在这样的标准键盘，十九世纪还有人发明出六排按钮式键盘，类似于手风琴的贝司，另有人发明出一架两套键盘的钢琴，左右手各弹一套。甚至直到今天，我在 上看到还有一位中国的音乐爱好者发明出一套所谓“花十字键盘”，声称比现在的标准键盘还要方便，弹所有调可以只用一种指法。
笔者在十几年前业余看闲书，翻到十二平均律时，忽发奇想，于是在电脑上用C语言编制了一套软件，把电脑键盘变成电子琴键盘，用其中的两排键，下排代表白键，上排代表黑键。这样在上班工作之余，可以用电脑键盘弹弹乐曲，轻松一下。虽然电脑喇叭的声音不很悠美，但音准完全没问题，因为每个音都是我用电脑预先设定出的频率值。
为转调方便，这些频率值我没用纯律，而是用了十二平均律的频率。我事先按等比公式算出所有高低音（包括半音）的频率，所以可以很方便地转换36个调，从低音C一直到高音B，按“>”就升高半度，按“<</SPAN>”就降低半度，而且屏幕上同时显示现在已经转为何调，比我们现在学习用的电子琴还要方便些。
当然，在实际生活中，根本用不到36个调，十二个调已完全够用。我之所以设计成36个调，完全是为了游戏，验证一下电脑的能力。
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