软件架构师（十八）应用数学

运筹方法

运筹学可以根据问题的要求，通过数学上的分析、运算，得出各种各样的结果，最后提出综合性的合理安排，以达到最好的效果。

运筹学步骤：确定目标、制订方案、建立模型、制订解法。

络计划技术

用 络分析的方法编制的计划称为 络计划，它是一种编制大型工程项目进度计划的有效方法。

关键路径法（CPM）： 通过 络分析研究工程费用与工期的关系，并找出在编制计划及计划执行过程中的关键路径。

• AOV ： 在有向图中，若以顶点表示活动，弧表示活动之间的先后关系；
• AOE ： 若以顶点表示事件，弧表示活动，权表示完成该活动所需的时间（称为活动历时或持续时间）。

因 AOE 中的某些活动可以并行地进行，所以完成工程的最少时间是从开始顶点到结束顶点的最长路径长度，称从开始顶点到结束顶点的最长路径为关键路径（临界路径），关键路径上的活动为关键活动。

络优化： 根据计划的要求，综合考虑进度、资源、费用等目标，即进行 络优化，确定最优的计划方案。

• 时间优化
• 时间-资源优化
• 时间-费用优化

线性规划

线性规划是研究在有限的资源条件下，如何有效地使用这些资源达到预定目标的数学方法。用数学的语言来说，也就是在一组约束条件下寻找目标函数的极值问题。

决策论

1. 决策过程和模型构造决策行为的模型主要有两种，分别为面向结果的方法和面向过程的方法。

   • 面向决策结果：“确定目标→收集信息→提出方案→方案选择→决策”。
   • 面向决策过程：“预决策→决策→决策后”

2. 不确定型决策：指决策者对环境情况一无所知，决策者根据自己的主观倾向进行决策。

   • 悲观主义准则：大中取大，在决策表中各个方案对各个状态的结果中选出最大者，记在表的最右列，再从该列中选出最大者。
   • 乐观主义准则：小中取大，从决策表中各方案对各个状态的结果中选出最小者，记在表的最右列，再从该列中选出最大者
   • 折中主义准则：每个决策方案的最大效益值乘以 α，再加上最小效益值乘以 1?α。
   • 等可能准则：把每个状态出现的概率定为 1/n（n 是自然状态数），然后按照最大期望值准则决策。
   • 后悔值准则：最小机会损失准则，每个自然状态的最大收益值（损失矩阵取为最小值），作为该自然状态的理想目标，并将该状态的其他值与最大值相减所得的差作为未达到理想目标的后悔值，最后按照最大后悔值达到最小的方法进行决策

3. 风险决策：指决策者对客观情况不甚了解，但对将发生各事件的概率是已知的

   • 最大期望收益决策准则：
   • 最小机会损失决策准则

4. 对策论：研究对策行为中竞争各方是否存在最合理的行动方案，以及如何找到这个合理的行动方案的数学理论和方法。

数学建模

数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象和简化，建立能近似刻画并解决实际问题的模型的一种强有力的数学手段。

数学模型

为了使描述更具科学性、逻辑性、客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。使用数学语言描述的事物就称为数学模型。

数学建模的过程

建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。要通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学理论和方法去分析和解决问题。

1. 模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题。
2. 模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。
3. 模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻画各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。只要能够把问题描述清楚，尽量使用简单的数学工具。
4. 模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数作出计算（估计）。
5. 模型分析：对所得的结果进行数学上的分析。
6. 模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。
7. 模型应用：应用方式因问题的性质和建模的目的而异。

数学建模的方法

（1）直接分析法： 根据对问题内在机理的认识，直接构造出模型。

（2）类比法： 根据类似问题的模型构造新模型。

（3）数据分析法： 通过试验，获得与问题密切相关的大量数据，用统计分析方法进行建模。

（4）构想法： 对将来可能发生的情况给出逻辑上合理的设想和描述，然后用已有的方法构造模型，并不断修正完善，直至用户比较满意为止。

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