文章目录

回顾：层次分析法的一些局限性  

一、模型介绍

1.1 引例：

一个简单的想法：

一个较好的方法：

1.2 增加指标：

统一指标类型 

标准化处理

计算得分

二、TOPSIS的介绍

第一步：将原始矩阵正向化

第二步：正向化矩阵标准化

第三步：计算得分并归一化

三、拓展：添加权重

 *熵权法对TOPSIS模型的修正

度量信息量的大小

信息熵的定义 

熵权法的计算步骤

熵权法背后的原理

四、代码实现

*熵权法加权

TOPSIS法（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）可翻译为逼近理想解排序法，国内常简称为优劣解距离法。

TOPSIS 法是一种常用的综合评价方法，其能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。

回顾：层次分析法的一些局限性  

1. 评价的决策层不能太多，太多的话n会很大，判断矩阵和 一致矩阵差异可能会很大。

我们上面提到过的RI指标也只到了15：

2. 如果决策层中指标的数据是已知的，那么我们如何利用这些数据来使得评价的更加准确呢nbsp;

该方法仍具有较强的主观性，判断/比较矩阵的构造在一定程度上是凭感觉决定的，一致性检验只是检验 感觉 有没有自相矛盾得太离谱。 

如果题目中有已经提供了的数据，那就暗示我们不要用层次分析法了，我们可以通过分析这些数据内在的特征来进行建模。这就是TOPSIS方法应用于评价类问题与层次分析法不同之处。

一、模型介绍

1.1 引例：

坤坤宿舍共有四名同学，他们第一学期的高数成绩如下表所示：

请为这四名同学进行评估，该评分能合理的描述其高数水平的高低。

一个简单的想法：

可见，鸡哥成绩最高，最后评估得分0.4也是最高的。

但该方法存在一些问题：哪怕菜菜只得了0分，他的评价分数也是0.1，只与鸡哥差0.3分。

一个较好的方法：

我们构造评分公式：

其中，最高成绩max：99，最低成绩min：60。

则有：

这样的话，菜菜考得再低，鸡哥考得再高，评分还是不变的。

其实，按卷子满分是max:100，最低min：0。

这样显然更合理一些，菜菜最后的评分也不是0分了。

但是，我们依然选择max：99，最低成绩min：60，而不是max:100，最低min：0。原因如下：

• 比较的对象一般要远大于两个，例如比较一个班级的成绩。
• 比较的指标也往往不只是一个方面的，例如成绩、工时数、课外竞赛得分等。
  • 菜菜的成绩是0，但也许他的其它项就把评分弥补回来了。
• 有很多指标不存在理论上的最大值和最小值，例如衡量经济增长水平的指标：GDP增速。

评分的公式：

1.2 增加指标：

新增加了一个指标，现在要综合评价四位同学，并为他们进行评分。

• 成绩是越高（大）越好，这样的指标称为极大型指标（效益型指标）。
• 发生矛盾次数越少（越小）越好，这样的指标称为极小型指标（成本型指标）。

统一指标类型 

为了方便评分，我们需要统一指标类型(就比如最开始成绩第一等级给他level4)；

将所有的指标转化为极大型称为指标正向化（最常用） ：

极小型指标转换为极大型指标的公式： max – x

标准化处理

为了消去不同指标量纲的影响， 需要对已经正向化的矩阵进行标准化处理。

如果我们直接计算，很明显成绩的数值大小远大于争吵次数，这就会导致结果过于倾向于成绩的高低，而争吵次数的影响微乎其微，因此，我们要对其进行 标准化处理。

标准化公式：

假设有n个要评价的对象，m个评价指标(已经过正向化处理)，构成矩阵X：

那么对其标准化的矩阵记为Z，Z中每个元素：

如：

计算得分

当只有一个指标的时候，我们:

他可以看作：

即：

x与最小值的距离 / (x与最大值的距离+x与最小值的距离)

我们以 

对于坤坤：

对于菜菜：

对于小徐、鸡哥：略

得到下表：

想不到，最后居然是成绩最低的菜菜综合测评排名第一！

当然，如果本学校更加看重成绩，也可以在第二步：标准化处理时设置权重。

二、TOPSIS的介绍

C.L.Hwang 和 K.Yoon 于1981年首次提出 TOPSIS (Technique for  Order Preference by Similarity to an Ideal Solution)，可翻译为逼近理想解排序法，国内常简称为优劣解距离法。

TOPSIS 法是一种常用的综合评价方法，能充分利用原始数据的 信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。

基本过程为先将原始数据矩阵统一指标类型（一般正向化处理） 得到正向化的矩阵，再对正向化的矩阵进行标准化处理以消除各指 标量纲的影响，并找到有限方案中的最优方案和最劣方案，然后分 别计算各评价对象与最优方案和最劣方案间的距离，获得各评价对 象与最优方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据。该方法 对数据分布及样本含量没有严格限制，数据计算简单易行。

第一步：将原始矩阵正向化

最常见的四种指标：

所谓的将原始矩阵正向化，就是要将所有的指标类型统一转化为极大型指标。（转换的函数形式可以不唯一）

• 极小型指标 –> 极大型指标：

• 中间型指标 –> 极大型指标:

        如：

        其中 

• 区间型指标 –> 极大型指标

        如：