使用arch命令拟合的基本模型形式如下：
在的方程中可以加入ARCH-in-mean和ARMA项
如果没有给出具体命令，默认A() = B() = 0，模型转变为线性回归。可以在A()中包括以下选项(其中
可以在B()中包括下面的选项：
相反，如果指定了parch()、tparch()、aparch()、nparch()、nparchk()或pgarch()选项，则基本的拟合模型是：
是待估参数，A()和B()像上面那样给出，但现在A()和B()被加入关于
一般模型(Common models)
来进行计算;参见Hamilton(1994)或Bollerslev(1986)。有时，基于样本中的第一个a、g或a+g观察值，软件会进行适应参数过程，其中a为最大ARCH项滞后，g为最大GARCH项滞后(或者其他ARCH变种函数项的最大滞后)。
在Engle(1982)提出的最早的ARCH模型中，回归模型当期扰动项的条件方差被表示为过去扰动项平方的线性函数。一般的，ARCH(m)模型可以由下面的均值方程和条件方差方程表示：
是扰动项(或者称为冲击，innovations)的平方，
其中
是GARCH项的参数。
Engle(1982)在他开创性的研究中，假定误差项
是
的基本白噪声过程。
显然在方程中加入更多项就可以向ARMA(p,q)过程推广。由于
是积极还是消极，对之后的期望方差
平方根形式是最常用的g()变换，因为研究者希望在方程中包含一个表示条件标准差的线性项。但是Stata中允许包括任何形式的g()。
例1：ARCH模型
考虑美国批发价格指数(WPI)的一个简单模型(Enders 2004, 87-93)，我们在[TS] arima中也考虑了这个数据集。数据是从1960年第1季度至1990年第4季度的季度数据。
在[TS] arima中，我们拟合了WPI, ln(WPIt)ln(WPIt1)的连续复合变化率模型。差分序列的图表——参见[TS] arima——清楚地显示了高波动期和其他相对平静的时期(低波动率期)。这使得该序列成为ARCH建模的一个很好的候选对象。事实上，价格指数一直是ARCH模型的一个适用对象。Engle(1982)在对英国通货膨胀率的分析中提出了最初的ARCH公式。
首先，我们利用OLS估计一个只有常数的模型，并利用Engle的LM 检验(estat archlm)检验ARCH效应。
模型估计结果为：
(为便于比较，我们使用与 [TS] arima的例1中的相同样本进行拟合;Enders拟合了相同的GARCH模型，但样本略有不同。)
注意事项(Technical note)
在对ARCH模型进行MLE估计时，可能需要花费较长时间进行对数函数迭代。这实际上可能意味着ARCH模型的表现良好。“switching optimization to . . .”是arch函数中默认优化方法的标准消息。在早期迭代过程中，“backed up”经常出现在使用BFGS方法的过程中，因为构建的Hessian矩阵通常过度优化。这些 告都没什么好担心的。
但是，要注意“BFGS stepping has contracted, resetting BFGS Hessian”和“backed up”，这标志着迭代对数函数不断重复。Stata永远不会 告收敛性，也永远不会 告最终结果。问题是，你应当在什么情况下中止运行并按下Break，以及如果你中止了程序应当采取怎样的操作补救。
如果重复出现“BFGS stepping has contracted”(超过5次)，通常表示永远不会实现收敛。这意味着BFGS算法由于出现问题，重新设置了Hessian矩阵，并采取了最速下降法。
“backed up”(如果重复出现)也表明存在问题，但只有在 告的似然估计值同时不改变的情况下才会出现问题。如果消息重复出现，但 告的似然值在变化，如上面所示，则一切正常；程序只是运行得很慢。
如果存在收敛问题，可以指定辅助当前最大化方法的选项，或者尝试另一种方法。或者，您的模型和数据可能在区间内不是凹的，因此不能最大化。
如果您看到“backed up”消息 告的似然值没有变化，则可以将梯度容忍度重置为更大的值。通过输入gtolerance(999)选项禁用梯度检查，从而使结果更容易收敛。但这并不保证一定会收敛，即使收敛了，也可能没有找到最大似然估计值。
您还可以尝试指定初始值。
最后，您可以尝试使用不同的最优化估计方法；参见上面Maximization 选项的讨论。
ARCH模型的一个缺点是其收敛困难。与Stata中的大多数估计量不同，ARCH估计量的收敛需要很多步，甚至失败都是很常见的现象。对于特定的非线性项，如aarch()、narch()、aparch()或archm (ARCH-in-mean)，以及在ARCH项中有多个滞后项的任何模型，尤其如此。这并不总是有解决办法。您可以尝试其他最大化方法或不同的初始值，但是如果您的数据不支持您假设的ARCH结构，那么就不可能实现收敛。
ARCH模型可能容易受到不相关的回归量或不必要的滞后量的影响，无论是在条件均值还是条件方差的形式中。在这些情况下，arch通常会继续迭代，在似然值方面几乎没有改进。我们认为这种保守的方法比在似然估计值尚未完全最大化的情况下就过早地宣布收敛要好。arch会估计二阶样本矩的条件形式，通常包括灵活的函数，这需要大量的数据。
注意事项(Technical note)
判断表达式(if exp)和范围筛选(in range)代表了对时间序列不同的操作。实际上，在检验判断条件之前，Stata会先对时间序列进行处理，这可能会导致一些混淆。注意以下列表命令的结果:
我们对于方差的估计结果为：
差分操作D此时消除了存在周末的问题，因为指定的时间变量t，不是真实的日期，而是经过处理后的日期排序，相邻样本之间的间隔都为1。在估计时，我们必须保留这个人为的时间变量，否则arch将认为我们的数据集有间隙。如果我们使用日历日期，数据中确实会有空缺。
Ding, Granger和Engle(1993)使用标准普尔500指数(S&P 500)的日收益(1928年1月3日-1991年8月30日)拟合了一个A-PARCH模型。我们将对上述道琼斯指数数据拟合同样的模型。该模型包括一个AR(1)项，条件方差用A-PARCH |
形式表述：
ARMA和ARCH系数与我们假设误差服从正态分布时得到的相似，不过我们注意到幂项(power)现在更接近于1。对于广义误差分布估计的形状参数显示在输出的底部。这里估计的形状参数是1.42；因为它小于2，广义误差分布的尾部要比正态分布时更厚一些。
例6: 带约束的ARCH模型
Engle(1982)的原始模型(人们对ARCH模型的兴趣从此开始)中提供了一个需要加入约束的例子。目前大多数ARCH形式使用GARCH项来提供灵活的动态特性，从而避免估计过多的参数。原模型局限于ARCH项，为了处理这些项的共线性，在参数中加入了递减的滞后结构。此时的条件方差方程为：
原始的模型适用于英国的通货膨胀；我们在这里将再次使用WPI数据，并保留先前与Engle的英国通胀模型不同的均值方程形式。使用约束条件，可以得到：
在约束条件下，ARCH中的一到四阶滞后项系数有相对大小关系。
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