墨卡托投影和高斯-克吕格 (Gauss-Krüger) 投影

高斯-克吕格 (Gauss-Krüger) 投影

高斯-克吕格也称作椭圆体版本的横轴墨卡托投影，因为它与墨卡托投影类似，不同之处在于高斯-克吕格的圆柱体沿经线而不是赤道接触球体或椭圆体。通过这种方法生成的等角投影不会保持真实的方向。中央经线位于感兴趣区域的中心。这种中心对准方法可以最大程度减少该区域内所有属性的变形。此投影最适合于南北分布的地区。

球体版本的投影由 Johann H. Lambert 于 1772 年提出。使用椭圆体校正的第一个公式由 Carl F. Gauss 于 1822 年开发。高斯-克吕格名称指由 Louis Krüger 于 1912 年重新评估的椭圆体形式。高斯-克吕格坐标系和通用横轴墨卡托 (UTM) 坐标系均基于此投影，而国家平面坐标系将其用于所有南北分布的区域。各个国家/地区都将此投影用于其地形图和大比例坐标系。

经纬
墨卡托投影是一种圆柱投影。经线是彼此平行且等距分布的垂直线，并且其在接近极点时无限延伸。纬线是垂直于经线的水平直线，其长度与赤道相同，但其间距越靠近极点越大。极点投影到无穷大，无法在地图上显示。经纬 沿赤道和中央经线对称。

畸变
墨卡托投影是一种等角地图投影。方向、角度和形状都将保持最小的比例。

此投影上绘制的任何直线都代表实际的罗盘方位。这些真实的方向线为恒向线，通常并不能反映两点间的最短距离。

沿赤道或沿割纬线的距离是正确的。

面的变形随着靠近两极地区而不断增大。例如，虽然格陵兰岛的大小只有南美洲的八分之一，但其在墨卡托投影中看上去却比南美洲更大。畸变值沿特定的平行方向相同，并且在整个赤道和中央经线上对称。

使用方法
该投影适用于绘制赤道附近地区（例如印度尼西亚和太平洋部分海域）的大比例地图。由于其具有直恒向线属性，因此建议用于标准海上航线图。其变体 Web 墨卡托投影是 web 地图和在线服务的标准。该投影经常被误用于世界地图、挂图以及 web 地图上的专题制图。

参考链接:https://pro.arcgis.com/zh-cn/pro-app/2.7/help/mapping/properties/list-of-supported-map-projections.htm

墨卡托投影、高斯-克吕格投影、UTM投影

1． 墨卡托(Mercator)投影

该投影按照投影带中央子午线投影为直线且长度不变和赤道投影为直线的条件，确定函数的形式，从而得到高斯一克吕格投影公式。投影后，除中央子午线和赤道为直线外， 其他子午线均为对称于中央子午线的曲线。设想用一个椭圆柱横切于椭球面上投影带的中央子午线，按上述投影条件，将中央子午线两侧一定经差范围内的椭球面正形投影于椭圆柱面。将椭圆柱面沿过南北极的母线剪开展平，即为高斯投影平面。取中央子午线与赤道交点的投影为原点，中央子午线的投影为纵坐标x轴，赤道的投影为横坐标y轴，构成高斯克吕格平面直角坐标系。

高斯-克吕格投影在长度和面积上变形很小，中央经线无变形，自中央经线向投影带边缘，变形逐渐增加，变形最大之处在投影带内赤道的两端。由于其投影精度高，变形小，而且计算简便（各投影带坐标一致，只要算出一个带的数据，其他各带都能应用），因此在大比例尺地形图中应用，可以满足军事上各种需要，能在图上进行精确的量测计算。

2）高斯-克吕格投影分带

我国采用6度分带和3度分带：

1∶2.5万及1∶5万的地形图采用6度分带投影，即经差为6度，从零度子午线开始，自西向东每个经差6度为一投影带，全球共分60个带，用1，2，3，4，5，……表示．即东经0～6度为第一带，其中央经线的经度为东经3度，东经6～12度为第二带，其中央经线的经度为9度。

1∶1万的地形图采用3度分带，从东经1.5度的经线开始，每隔3度为一带，用1，2，3，……表示，全球共划分120个投影带，即东经1.5～ 4.5度为第1带，其中央经线的经度为东经3度，东经4.5～7.5度为第2带，其中央经线的经度为东经6度．我省位于东经113度－东经120度之间，跨第38、39、40共计3个带，其中东经115.5度以西为第38带，其中央经线为东经114度；东经115.5～118.5度为39带，其中央经线为东经117度；东经118.5度以东到山海关为40带，其中央经线为东经120度。地形图上公里 横坐标前2位就是带 ，例如：1∶5万地形图上的横坐标为20345486，其中20即为带 ，345486为横坐标值。2．当地中央经线经度的计算六度带中央经线经度的计算：当地中央经线经度＝６°×当地带 －３°，例如：地形图上的横坐标为２０３４５，其所处的六度带的中央经线经度为：６°×２０－３°＝１１７°（适用于１∶２．５万和１∶５万地形图）。三度带中央经线经度的计算：中央经线经度＝３°×当地带 （适用于１∶１万地形图）。

参考链接:https://www.cnblogs.com/arxive/p/6694225.html

一、参心坐标系与地心坐标系

1.1 参心坐标系reference-ellipsoid-centric coordinate system

是以参考椭球的几何中心为原点的大地坐标系。“参心”意指参考椭球的中心。

通常分为：参心空间直角坐标系（以x，y，z为其坐标元素）和参心大地坐标系（以B，L，H为其坐标元素）。参心坐标系是在参考椭球内建立的O-XYZ坐标系。原点O为参考椭球的几何中心，X轴与赤道面和首子午面的交线重合，向东为正。Z轴与旋转椭球的短轴重合，向北为正。Y轴与XZ平面垂直构成右手系。在测量中，为了处理观测成果和传算地面控制 的坐标，通常须选取一参考椭球面作为基本参考面，选一参考点作为大地测量的起算点（大地原点），利用大地原点的天文观测量来确定参考椭球在地球内部的位置和方向。

WGS-84、CGCS2000，都是属于地心坐标系。

由于地球是一个赤道略宽两极略扁的不规则的梨形球体，故其表面是一个不可展平的曲面，所以运用任何数学方法进行这种转换都会产生误差和变形，为按照不同的需求缩小误差，就产生了各种投影方式。

3.2 几种不同投影方式下的世界地图

在地图上保持方向和角度的正确是墨卡托投影的优点，墨卡托投影地图常用作航海图和航空图，如果循着墨卡托投影图上两点间的直线航行，方向不变可以一直到达目的地，因此它对船舰在航行中定位、确定航向都具有有利条件，给航海者带来很大方便。 “海底地形图编绘规范”中规定1：25万及更小比例尺的海图采用墨卡托投影，其中基本比例尺海底地形图（1：5万，1：25万，1： 100万）采用统一基准纬线30°，非基本比例尺图以制图区域中纬为基准纬线。基准纬线取至整度或整分。

其中，lambda 为经度， phi 为纬度。左侧为正算，右侧为反算。

即有经纬度（ phi，lambda）对应的墨卡托平面坐标即为（xR，yR）。很明显，y方向的距离只有在赤道附近才是接近实际距离的。

3.3.2 高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影

高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影简称“高斯投影”，又名”等角横切椭圆柱投影”，地球椭球面和平面间正形投影的一种。德国数学家、物理学家、天文学家高斯（Carl FriedrichＧauss，1777一 1855）于十九世纪二十年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格（Johannes Kruger，1857～1928）于 1912年对投影公式加以补充，故名。

高斯投影反算公式：

3.3.3 通用横轴墨卡托（UTM，Universal Transverse Merecator）投影

与高斯克吕格投影相似，将世界分为60个投影带，每带经差为6°，经度自180°W和174°W之间为起始带，且连续向东计算，带的编 系统与1:100万比例尺地图有关规定是一致的。我国的卫星影像资料通常采用UTM投影。

UTM 经度区范围为1到60，其中58个区的东西跨度为 6°。经度区涵盖了地球中纬度范围从 80°S 到 84°N 之间的所有区域。一共有 20个UTM 纬度区，每个区的南北跨度为 8°；使用字母 C 到 X 标识（其中没有字母 I 和 O）。A、B、Y、Z 区不在系统范围以内，它们覆盖了南极和北极区。

3.3.5 阿伯斯Albers投影（正轴等积割圆锥投影）

– 也称“双标准纬线等积圆锥投影”，为阿伯斯（Albers）拟定。投影区域面积保持与实地相等。

– 最适合于东西方向分布的大陆板块，不适合南北方向分布的大陆板块。

– 在处理显示400万、100万的全国数据时为了保持等面积特性，经常采用Albers投影。

WGS84坐标转地方坐标流程图

地方坐标转大地坐标流程图（蒋小军,2010）

4.2 七参数椭球转换

七参数主要分为3类参数，旋转、缩放和平移。

缩放，表示为k，主要是由于测量误差产生的；

平移为3个坐标轴方向上的平移，表示为dX、dY、dZ，这是由于原点不一样产生的；

旋转为3个坐标轴的旋转，表示为rX、rY、rZ，这是坐标轴指向不一致产生的。

平移的单位为对应的长度单位，我们常用米；旋转的单位为秒，原因是各个坐标系间指向的差异都很小；缩放的单位是PPM（part(s) per million，百万分之一），也就是说缩放是一个特别小的数值，这是因为坐标转换前我们都会率先统一单位，所以缩放数值也就体现了测量误差等因素的影响。

以WGS84 坐标系与1980 年国家大地坐标系的转换为例：

如果用七参数法来实现，求解前必须确定控制 中各点对的距离。如果两点间距离超过15 公里，必须考虑曲面因素即两种不同坐标系的椭球参数，避免因椭球的差异，导致转换后所得坐标残差过大，精度过低，为了保证精度必须采用七参数法。如果两点的距离小于10 公里，曲面因素影响几乎可以忽略，所以采用四参数等精度较低的转换方法来转换。

七参数转换主要有以下方法：

①通过卫星定位接收机测得WGS-84 大地坐标并转换至西安80 大地坐标，再通过高斯投影将西安80 的大地坐标转换到西安80 平面直角坐标。

②通过卫星定位接收机测得WGS-84 大地坐标，先以高斯投影将其变换至同椭球下的平面直坐标X、Y、h84，之后在平面坐标系中将WGS84 下的平面坐标转换成西安80 平面直角坐标。

方法一采用的是不同大地坐标系的转换模型，七参数包括3个旋转参数、3 个平移参数和1 个尺度参数，但是考虑到两种大地坐标的椭球参数的不同，为了提高精度，减少不同椭球引起的变化，还需要增加两个变换参数。

方法二的原理是不同空间直角坐标系的转换模型，通常采用布尔沙(Bursa)模型，参数由3 个平移参数、3 个旋转参数和1 个尺度参数组成。通过GNSS 静态观测获得的WGS84大地坐标，通过转换可得同一椭球系的空间直角坐标，再结合其他椭球至少3 个已知控制点成果的公共点，采用间接平差法，通过高斯投影转换为西安80 坐标系大地坐标;最后再转换得到空间直角坐标。七参数转换公式如下：

4.3 三参数椭球转换

三参数坐标转换公式在假设两坐标系间各坐标轴相互平行，轴系间不存在欧勒角的条件下得出的。

布尔莎七参数转换模型是一个严密的转换公式。一般而言，只需已知3 个分布在空间的不同公共点，便能解算出其可靠的转换参数。若公共点分布区域较小，将导致平移参数与旋转参数间的强相关性，使其系数矩阵的条件数变大，从而影响转换参数解的稳定性。

因此，将七参数模型中的旋转参数与缩放比例尺度参数忽略，可得到适用于小区域范围的三参数转换模型：

式中，(XT，YT，ZT) 为新坐标系坐标;(X0，Y0，Z0) 为原坐标系坐标;(dx，dy，dz)T 为坐标转换平移参数。该模型只需要一个公共点便可求解出转换的平移参数，若公共点个数大于1，平移参数可设定为公共点坐标的平均值。

一般区域范围不大，最远点间的距离不大于30km（经验值）情况下的坐标转换，可以采用三参数。

4.4 四参数椭球转换

在布尔沙七参数转换的基础上，若只省略3 个旋转参数，可得到布尔莎四参数转换模型：

式中，(XT，YT，ZT) 为新坐标系坐标;(XG，YG，ZG) 为原坐标系坐标;(dx，dy，dz)T 为坐标转换时的3 个坐标平移参数;K 为缩放比例尺度参数。该模型只需要2 个公共点便可求解出转换的平移参数。

4.5 平面四参数转换

在一个椭球的不同坐标系中的平面坐标之间转换转换则会用到平面转换。目前一般分为四参数和平面 格拟合两种方法，以四参数法在国内用的较多。

四参数计算至少要有2个已知平面直角坐标点，四参数公式如下：

在该公式中有四个未知参数，即：

（1）两个坐标平移量（△X，△Y），即两个平面坐标系的坐标原点之间的坐标差值。

（2）平面坐标轴的旋转角度A，通过旋转一个角度，可以使两个坐标系的X和Y轴重合在一起。

（3）尺度因子K，即两个坐标系内的同一段直线的长度比值，实现尺度的比例转换。通常K值几乎等于1。

四参数的数学含义是：用含有四个参数的方程表示因变量（y）随自变量（x）变化的规律。

具体实现过程中，一般不会只有两个已知点，因此四参数求解出来之后，需要把X、Y的中误差以及每个点的X残差和Y残差，如果残差大于3倍中误差则将该点剔除，重新计算四参数。

五、高程拟合

5.1 高程拟合简介

通过GPS相对定位得到的三维基线向 量进行 平差， 可得到高精度的大地高，但在实际应用中采用的是正常高，大地高是以椭球面为基准的高程系统， 而正常高是以似大地水准面为基准。GPS数据处理需要确定各未知点的大地高 H与正常高程h之间的关系，然后，用一定方法将大地高H转换为正常高h。大地高与正常高的关系为：

ξ ＝ H － h

式中， ξ 为高程异常。

显然，能够精确求出各未知点的高程异常ξ，就能够通过大地高求出各点的正常高。精确计算各未知点的高程异常，主要有重力场模型和GPS高程拟合两种方法。

小区域范围内，常采用GPS高程拟合的方法计算GPS点的正常高，主要的拟合法有等值线图示法、狭长带状区域线性拟合法、解析内插法、曲面拟合法（包含多项式曲线拟合法、平面拟合法、移动曲面法）、固定差改正法等。一般基于使用便捷的考虑，常用的GPS高程拟合方法有二次曲面拟合法、平面拟合和固定差改正。

5.2 二次曲面拟合法

5.3 平面拟合

在小区域内，利用平面逼近局部似大地水准面来代替曲面，设公共点的高程异常为ξi，相应平面坐标为（xi，yi） ，则有

计算方法与二次曲面拟合相同，只是至少需要３个公共点的高程异常ξi和平面坐标（xi，yi）来求解式中的３个未知参数。由于平面拟合法是利用平面局部逼近似大地水准面，该方法适合在小区域且较为平坦的范围内使用。

5.4 固定差改正

固定差改正法高程平差计算是利用GPS计算的已知点大地高H与该点的正常高h，采用公式ξ＝H－h ，计算各已知点高程异常值ξ，然后取其平均值，作为未知点的高程异常值，从而利用h＝H－ξ来计算各个未知点的正常高。

固定差改正方法不够严密，谈不上是拟合高程，连最早的绘等值线图法内插的精度都达不到。直接将未知点的自由 平差的高程全部统一减去一个常数（ 已 知点高程差值的算术平均值）而得到二维约束平差的高程，显然得到