计算机图形学：四元数

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四元数(四元组，Quaternion)是英国数学家、物理学家、力学家William Rowan Hamilton(1805-1865)于1843年发明的一个纯粹数学概念。最初，四元数主要是为了表述三维矢量相除。随后，四元数被广泛应用于电磁学、广义相对论等领域；直到一个世纪之后，才逐渐应用到了计算机图形学。

在OpenSceneGraph中提供了osg::Quat表述旋转变换；FreeCAD使用Base::DualQuat完成坐标变换，而八元数(Octonion)实际上是四元数的一个推广。因此，非常有必要对四元数相关的概念、性质、原理、典型应用(特别是在计算机图形学方面)进行研究。

注1：限于笔者研究水平，难免有表述不当之处，欢迎批评指正。

注2：部分内容引用未标注出处，敬请谅解。

注3：文章内容会不定期更新。

一、定义

四元数都是由实数加上三个虚数单位

其中，a、b、c、d是实数，

由此可以得到，

二、数学性质

? 四元数运算包括减法、加法、乘法、共轭等运算。四元数运算满足分配律(distributive law)，但四元数乘法不符合交换律(commutative law)。  ?

• 加法

对于 

• 减法

对于 

• 乘法

对于 

• 共轭

对于 

• 四元数的模

对于 

• 单位四元数

对于 

• 四元数的逆

 对于 

三、四元数的应用：矢量旋转

若矢量

首先将

代入四元数表述的旋转变换公式，得

其中，

络资料

参考文献

刘俊峰. 三维转动的四元数表述[J]. 大学物理, 2004(04):39-43.