目录
- 1 有理函数的积分（多项式除以多项式）
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- 引入
- 五步曲
- ( B x + C ) / ( x 2 + p x + q ) (Bx+C)/(x^2+px+q) (Bx+C)/(x2+px+q)型计算
- x 2 / ( a 2 + x 2 ) 2 x^2/(a^2+x^2)^2 x2/(a2+x2)2型计算
- 1 / ( a 2 + x 2 ) 2 1/(a^2+x^2)^2 1/(a2+x2)2型计算
- ( B x + C ) / ( x 2 + p x + q ) 2 (Bx+C)/(x^2+px+q)^2 (Bx+C)/(x2+px+q)2型计算
- ( B x + C ) / ( x + m ) ( x + n ) 2 (Bx+C)/(x+m)(x+n)^2 (Bx+C)/(x+m)(x+n)2
- ( B x + C ) / ( x + n ) 2 ( x 2 + p x + q ) (Bx+C)/(x+n)^2(x^2+px+q) (Bx+C)/(x+n)2(x2+px+q)型计算—五部曲完整展示
- 常规解法例题
- 有理函数的一些特殊解法
- 其他形式转换为有理函数积分
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- 可以看成 f ( e x ) f(e^x) f(ex)的被积函数
- 换元法打开局面
- 分子为1时，可以考虑上下同乘，再把分子凑进去
- √ x √x √x 常可以凑进dx中
- 2 三角有理函数的积分
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- 通用方法——万能公式换元法
- 使用“缩分母”技巧
- cosx凑成dsinx，把sinx看做整体t，化为关于t的有理函数积分
- ? s i n x -sinx ?sinx凑成 d c o s x dcosx dcosx，把 c o s x cosx cosx看做整体t，化为关于t的有理函数积分
- 分子分母同时除以 c o s x cos^x cosx，出现 s e c 2 x sec^2x sec2x，凑成 d t a n x dtanx dtanx
- 形如 ( A s i n x + B c o s x ) / ( C s i n x + D c o s x ) (Asinx+Bcosx)/(Csinx+Dcosx) (Asinx+Bcosx)/(Csinx+Dcosx)，假设“分子=p×分母+q×分母的导数”利用对应系数求出p、q
- 出现不同角度，要先想办法统一角度（一般用二倍角公式）
- s i n a x × c o s b x sinax×cosbx sinax×cosbx利用积化和差公式
- 高次反复降次
- 改造分子
- 3 换元法和分部积分
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- 换元法（最后记得换回去）
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- 根式整体换元
- 三角换元
- 分部积分
- 换元法+分部积分
- 分部积分降阶
- 分部积分实现积分抵消
- 对复杂因式求导
- 4 变限积分概念题
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- 存在定理
- 变上限积分函数天生连续，不可能有间断点
- 综合计算
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- 有1+x^2^的令x=tant，t=arctanx；三角函数和指数函数相乘的积分，需要连续两次分部积分
- 需要分部积分时，换元后可以不直接导出来
- 含e^x^考虑前后抵消，把另一部分凑进dx
1 有理函数的积分（多项式除以多项式）
视频链接：https://www.bilibili.com/video/BV1f54y1G7gvpm_id_from=333.999.0.0
引入
真分式：分子最高次数小于分母
假分式：分子最高次数大于等于分母
五步曲
① 如果是假分式，通过多项式除法变成多项式与真分式之和
② 将该真分式的分母进行因式分解（一直分解到无法分解）
③ 裂项
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