现代数学专论周** 纺织学院纺 织材料与纺织品设计专业 纺硕1507班 学 c21500**
关键词 集合论 测度论 概率论 随机过程 习题证明
背景基础知识(集合论)
在建造房子时，建设者会用与其他部分不一样的材料来打造地基，同样对于每一个数学分支都以公理集合论作为其理论基础，这个基础被大多数关注基础理论的逻辑学家和数学家所接受，但是只有少数数学家有时间或意愿去详细研究公理集合论。作用另一个比喻，高级计算机语言和他们编写的程序建立了计算机软件的基础。但是编写高级计算机语言的人需要了解多少计算机操作系统的知识则取决于他手边的问题。在现代实分析、测度论中，集合论的问题要比以前代数、复分析、几何和应用数学中的问题要多。例如，在实分析中相对较近发展的“非标准分析”允许正数可以无限小但不为零。非标准实分析比早期发展的实分析更强的依赖于集合论的特性。这里给出集合论的最基本知识。1、集合论的定义和实数系定义至少有两个目的。首先，就像一本普通字典一样，定义试图给出见解，传达一种思想，或者用熟悉的概念去解释陌生的概念，但并不详尽说明或彻底研究所定义单词的全部意义，我们称这种定义为非形式定义。但在大多数数学和其它科学领域中，形式定义实完全准确的，因此，人们可以科学地判断一个有关命题的真伪。在形式定义中，一个熟悉的术语(例如，普通的长度单位或是数字)可以用不熟悉的术语定义。集合论中大多数定义都是形式的。其次集合论的另一个目的是不单为自己也为所有数学分支提供清晰的逻辑结构，由此就产生从哪里开始定义的问题。非形式的字典定义常常有一些同义词组成。例如，字典中“渺小”与“微小”相互定义，这种定义对于知道其中一个词的人来说有帮助，但是对于一个通过字典来学习汉语的人来说，这种定义是无效的。这种情况在一定程度上反映了人们在学习中所遇到的困难，因为字典中所有单词都是用其他单词来定义的。因此人们在开始时至少弄清字典中一些单词的意思，而不是在用到时才去翻字典。有些单词(例如“与”、“或”和“但是”这三个连接词)非常常见，但很难用另外的词来定义。这是我们通过一些规则来定义含有连词的句子的含义，其中用这些连词连起来的单词或短语的词义我们已经给定。乍一想，你也许认为集合论最重要的定义是“集合”，但是恰恰相反，因为数学的整个逻辑结构规约为集合或是由集合来定义，因此不能给出它的一个形式的定义。相反，有一些规则(公理、推理规则等)能起到定义集合的作用。一个初步的、非形式的集合定义是“任何数学对象的全体”，但是随着学习的深入我们对这个定义不断地加以明确和修正。在某些方面，定义集合的问题类似于定义数的问题。经过几年的学习之后，学生们知道了0、1、2、3，… 这些数，并且知道了它们之间的运算规律，但是很多人还是很难确切地说明什么是数，即使人们完全同意算术规律，但是不同的人可能会给出数字“1”的不同定义。一种方法是从0开始，通过取“后继者”或下一个更大的数。如果定义了0，那么0之后的数也就确定了。如果用0及它的后继者来定义一个序列0，0′,0″,0″‘,…我们可以得到通常的整数定义。为了做到这一点，我们将在等 之前加上冒 “：=”表示“定义为相等”，例如1:=0’，2:=0″，3:=0″‘,等等，这样一直做下去，这些定义都是精确的，这样人们可以得到一本厚厚的字典，相当精确(尽管不太实用)但还不完整，因为0和后继者运算没有被形式定义。大多数数系结构可以通过给定的0和后继者的规则来确定。例如，一种规则是：假如m’=n’，则m=n.简言之，如果我们想要尽可能精确地建立严格的数学逻辑结构，那么非形式的定义会帮助人们解释结构。然而，我们至少还要保留一些未被定义的基本概念。下面给出公理体系和其他规则。这里再次给出集合的非形式定义：一个集合是任何对象的全体。在数学上，这种对象将是数学对象，例如数、点、向量
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