多层地层中的井筒及地层温度解析

摘要

1 前言

2 数学模型及其解

图1 　井筒和地层温度分布曲线　　　　　　　图2 　给定时间下生产井温度剖面图(实例)

(1) 井筒中的流体为一维、垂向流动,且流量为常数;
(2) 同流动中的流体热对流相比,井筒中的流体垂直方向的热传导可忽略不计;
(3) 每个小层中的热力学参数、物理性质参数及初始温度梯度为常数;
(4) 与水平方向的热流量相比,地层中垂直方向的热传导可忽略不计;
(5) 用热表皮处理地层与井筒之间的热流量,同时引进热量储存常数;
根据以上假设,地层第j 层的热传导方程为:
（1）
在井筒中,流体的控制方程
对液体有
（2a）
对气体有
(2b)
由Ramey 定义的综合热传导系数Uj ,可表示成:
（3）
　初始及边界条件可写成:

式中
T ——地层温度, (°C) ;
Tw —井筒温度, (°C) ;
ρ ——地层中岩石及流体的综合密度, (kg/ m3) ;
C ——地层中岩石及流体的综合定压比热容, (J / kg.°C) ) ;
λ ——地层中岩石及流体的综合热传导系数, (W/ (m.°C) ) ;
u ——井筒单位长度的热通量, (W/ m) ;
U ——地层与井筒之间的综合热传导系数, (W/ (m2 .°C) ) ;
TC ——流体注入时的注入温度, (°C) ;
T0 ——对于注入井表示地面温度,对生产井为井底温度, (°C) ;
Q ——流体的体积流量, (m3/ s) ;
g ——重力加速度, (m/ s2) ;
rw ——井筒半径, (m) 。
下标
j = 1 ,2 ,3 ( zj – 1 < z < zj ———第j 层的物理量及参数;
w ——井筒中的物理量及参数;
f ——与流体有关的物理量及参数;
i ——初始状态的物理量及参数。
定义如下的无量纲量:
无量纲地层及井筒温度TDj , TWDj 定义为

无量纲时间及无量纲距离tD , rD , zD 定义为

热表皮、无量纲热储存常数及热力学参数比Sj ,βj , mj 定义为

(4) Laplace 空间上的无量纲地层及井筒温度. , 定义为
.
根据上述定义的无量纲量,可以给出Laplace 空间上温度所满足的方程及定解条件

TGj ——第j 层的地层静温梯度, (°C/ m) ;
求解上述方程,可以得到Laplace 空间上的无量纲地层及井筒温度. , 分别为
式中

对于j = 2 ,3 ,4 层,无量纲井筒温度可表示成

式中

J0 ( x) , Y0 ( x) ———第一类及第二类零阶Bessel 函数;
J1 ( x) , Y1 ( x) ———第一类及第二类一阶Bessel 函数。
地层无量纲温度分布可表示成

3 计算结果

图3 井筒温度随井深的关系曲线比较　　　　 图4 垂向与径向温度梯度之比

图5 是注入5d 时地层三维温度分布图,其中径向最大的计算距离为R = 15m ,从图中可以看出:用20°C 的水,以流量为m3/ d 的注入量注入5d ,温度影响半径较小,即在离井筒几米以外,地层温度几乎没有受到扰动,地层温度分布仍然可以近似为地热静温曲线。但在井筒附
近温度变化较大,尤其在井筒中,温度随深度的变化曲线远偏离地热静温曲线,研究表明:注入(或产出) 流量是影响井筒中温度随深度的变化曲线偏离地热静温曲线最主要的参量。所以,我们可以通过分析井筒中温度随深度的变化曲线或产层处的温度随时间变化的曲线来反求注入(可产出) 流量以及地层热力学参数。

图5 注入5d 时地层三维温度分布图

4 结论

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