尤里·曼宁，1937年2月16日出生于乌克兰辛菲罗波尔，数学家，他的工作频与物理学领域多有相关。莫斯科国立大学数学学士学位和俄罗斯科学院斯特克洛夫数学研究所博士。对代数几何、数论、微分方程等领域有深入研究。1980年代由于苏维埃对旅行管制的放松，使他得以与欧美物理学界合作，1980年，曼宁创作了《可计算和不可计算》的论文，被认为是量子计算领域的奠基之作。
I、数学知识（1）
他发现我们，如何？一方面，我们为建立一个完全从现实需求中分裂的精妙世界而骄傲，另一方面，我们宣称了我们的理念几乎完全建立在关于意义的技术性发展之上。
——芒福德《存在论》前言
纯粹数学是一个宏大而独特的理念的有机整体，它出现并存在于数学家的大脑和理性之中。
如果人们希望摆脱这种对数学的定义引发的不安感，那么至少有三种方式可以尝试。
其次，我们可以说数学是深植于现实并永远与现实世界相关的人类活动，从数手指到登月到谷歌，数学的目标便在于理解、创造和处理事物。也许比起那些玄奥的抽象概念来说，这种解释才更像数学。因此，数学家们多少是应为人类历史负责的一些角色。比如阿基米德为保护僭主而守卫锡拉库萨，阿兰·图灵秘密分析隆美尔的军事调度情 ，或者冯·诺依曼对投弹高度和攻击效率的建议。接受这一观念，数学家们便能通过强调 会实用性来捍卫他们的事业。这一角色，使数学家们陷入道德困惑中，这种独特职业的道德困惑的最好展示，便是如下的黑色幽默：当人们需要检测炸弹对人体的作用，而人道主义者又禁止进行动物实验时，数学便成为了一种不可或缺的工具。
这三种观念的交织渗透， 会属性和独特个人行为的相关抉择，为如下的讨论奠定了底色。这一简明的序言是为了使读者理解这些内容的内在张力，而非伪造一个清晰的形象，或者无人能够做出的明晰判断。
最后是对这些阐释涉及的历史文献的建议，阅读那些古老文本有两种不同的模式，一是理解它们书写的时间和民族，另外还需明晰我们当代的价值甚至偏见。数学的历史中，两极分化的观念展现在如“民族数学”和“布尔巴基”学派的相对立的历史观之中。
为这一阐释有益，我明确地并自觉地采纳一种“现代性”的观念。
致谢：Silke Wimmer-Zagier为中国和日本数学史源头及其关联提供了素材，Dmitri Manin为我解释了谷歌排序算法，我非常感谢他们慷慨相助。
I.1飞鸟的视野
阿蒂亚爵士通过如下梗概开始他的 道：“数学的三个最重要分支，依照历史顺序，是几何学、代数学和数学分析。几何学的肇始应归功于古希腊文明，代数学属于印度-阿拉伯文明，数学分析或者微积分是属于近代的，牛顿和莱布尼茨的成就。”然后他解释到，在物理学领域，这三大分支分别与空间、时间和连续性相关，“几何学几乎毫无争议地源于对空间的研究，但或许代数学源于对时间的研究并非如此明显，但是所有的代数系统都与对序列的操作相关（加和或乘积等等），它们被想象为一个接着另一个的运算。换言之，代数寻求时间使其有意义，尽管通常只需要离散的时间点。”
或者，人们也可以为代数学寻求一种非传统观念，它认为与代数学最紧密相关的并非物理学而是语言学。事实上，考察数字数位符 的逐步形成，以及晚期的用于运算和作为变量的数学符 ，人们可以看到两个阶段的发展。
第一阶段，符 大部分用于精简或合并对确定的信息库的象征性表示，这一阶段，自然语言能够（并确实）完成相同的目标，只是效率稍低。因此，人们有理由将此与一种专业的子语言的发展相提并论。依旧因一些装饰性目的被使用的所谓的罗马数字，成为这一阶段残留的古老印记。另一有益的对比可以参考化学符 的出现和演化，也许其中出现了更多的改进和更好的标记方式。
第二阶段，数字数位系统运算中的加和、乘积和晚期出现的除法代数式被设计出来，同期，变量和代数运算开始与等式或恒等式相关联，之后又与方程的变形，以及演绎运算所遵循的通用法则创造的字符串相关联。这一阶段，新的数学语言的形态，不仅是为运算的磨坊提供确定意义的稻谷的载具，它更是意义的提升，从一种明晰的语言符 到一种隐藏的字符串的代数变形，这就是标志着代数学诞生的至关重要的链条。
人类语言与运算过程的不相容特性，也许就是只有数学能够为物理学提供一种适用语言的根本原因。我们并非缺乏表达诸如
或者
这种东西的单词，单词可以轻易创造，关键在于如果仅仅拥有这些单词，对完成这些重大发现依旧于事无补。
同样，我们也不能跳过单词而只对方程式进行处理，数学或自然科学文本中的单词扮演着三个基本的角色。首先，它们构建了物理实体和数学抽象之间的桥梁。其次，它们通过或明显或隐晦的方式承载价值判断，它掌控着我们对数学推理中的特定链条的选择。这些数学推理则是一棵巨大的包含一切有效性、但时常无效的形式演绎之树。最后，非常重要的一点在于，数学语言使我们完成交流、教育和学习。
我想以Paul Samuelson的一段犀利的评论做为总结，他提到词语和数学符 在经济学中的应用时说，当我们通过语言处理经济学理论中的问题，我们正像写下方程式时解出一样的方程……真正的问题在于公式预设的前提……数学方法的优势在于，或者可以严谨地说，数学家们阐述证明的标准方式——无论是通过语言还是符 ——是强制性地要求我们对预设前提进行公开。
回到数学王国这巨大的标尺图中，几何、代数和分析，在此之外，我们应为（数理）逻辑保留一席之地，它已现代化转型为算法理论和计算机科学。一种令人信服的说法认为逻辑学是代数学孕育而成的一部分（弗雷格），如果人们接收这一观念，那么阿蒂亚爵士关于代数学与时间关系的洞悉便得以证实。事实上，当20世纪30年代阿兰·图灵通过名为“图灵机”的物理隐喻来描述运算系统规则时，逻辑学的巨大转换便发生了。在图灵之前，逻辑学被视为一种附属于语言学的学术，而图灵对于在可读写字符的线型纸带的离散步段中，进行的有限机器运算的观点，以及这种通用机器的可行性理论，强调了所有计算问题的现代特色。更为重要的是，计算问题通过将程序物理化的思想，不仅促成了计算机的发明，同时在经典物理和量子物理学模型中，为存储和处理信息的一般性法则，开辟了一条思想之路。
I,2数学知识的对象
我们研究生物学便是研究具有生命的有机体，研究天文学便是研究天体，研究化学便是研究物质的变化以及其自身的转化方式。
当我们观测真实世界的属性，我们在一种受控的环境中发明严密的目的明确的实验（天文学除外），并最终创立一种解释性范式，它们进而成为科学潮流中的里程碑。
但是，当我们做数学时，我们研究什么呢？
一个可能的答案是“我们研究一些可以如同真实事物一样处理的理念。”（P Davis和R Hersh称之为具有可再生特性的精神对象）。
所有这些理念都应在其可能出现的任何语境中足够严格，以保持其形态，同时，也应有足够的潜质使其与其它数学观念相契合。当一种元初的理念的综合体被创造（通过历史的或教学的方式），它们之间的关联也像一种数学对象一样具有了某种身份，这便形成了丰富的抽象层级的第一层级。
这一抽象层级的绝对根基，便是这些思维图像本身以及它们的操作方式。不可思议的是，即便极高的抽象层级也以某种方式反映真实：物理学家们发现的知识，可以只通过数学语言表达。
以下是一些基本实例。
I,2,1自然数
自然数可能是一种最古老的典型数学理念，
中包含的“整体性”，就是最初的自然数在许多文化中具有象征意义和宗教性。基督的三位一体或者佛陀的涅槃融入思想，梵文中的nir-dva-n-dva（涅槃，nirvana）中的”dva”表示二，它暗示了一种独特的存在状态，通过灭除分别，从而达至万物为一，进入极乐。（而数字“二”的消极含义至今仍存在于欧洲语言中，它让人联想到“犹豫不决”。参考拉丁文的dubius，德语的Zweifeln，以及歌德的《墨菲斯托手稿》）
自然数也是一种元初的物理观念：对物理实体及晚期的如昼夜的非物质实体的计数，这就是最早的关于测量的例子。参考如下：
自然数成为一种数学理念表现在：
一）像对待实体一样操作自然数的方式被发明出来：加和和乘积。
二）关于所有自然数的内在结构的抽象特征被揭示：素数，其无限性，素数的单值性和素数分解。
对于这两大发现，在历史和地理上的区别很大，在文化和哲学视角中也同样存在争议。数位系统标志着我们今天所谓的应用数学的诞生，而素数则对应着我们习惯称之为纯数学的部分。下面是一些细节。
最初，数字及其操作方式都被一些特定材质编码，手指或其它身体部位，木棒或刻痕。刻痕是一种标记，而非严格意义上的物体，它或者并非起源于对1而是对10或60的标记，这取决于它在其它象征物中处于怎样的行列，数位计数系统是早期数学之路中的伟大发现，但一个完整的数位系统需要对“”的标记，它出现稍晚，但标志着数学新的抽象化的水平。
如下概要形象地勾画了这一图景：
“公元前2074年，苏美尔的舒尔吉国王进行了一场军事改革，并于次年推广为行政改革，它假以紧急状况为由，但很快演变为永久性的。改革需要对人口众多的奴隶阶层进行统计，要求监工人员负责他们所管辖的人口工作情况。依照固定规范，记录以1/60天（12分钟）为标准单位。因此在精确修订过的记录中，所有的工作和产出都要以这一单位进行计量，它需要包含对全体数目进行的乘法和除法运算。进而，一套以60为基准的数位系统便被发明并应用到运算之中。于是，在国家法令的变迁和强大外力的迫使下，那些数世纪来如“空中楼阁”的数学理念，被迫重新抉择。以此为前提的新系统，被运用到乘法表、倒数表、技术常量以及教学训练中。后来，正如诸多情况所见，只有战争可以为如此巨大的 会意志的转变创造条件。”
另一方面，素数仿佛有种源于纯粹冥想的顿悟，就像自然数本身的无穷属性一样，对于素数同样如此。
对于素数的无穷性质的证明，是早期数学思想的珍珠，它被编纂在欧几里得的《几何原本》中。可以简要回顾如下（通过现代符 ）：
一个有限素数序列：
，
，
可以通过素因子方式构造新素数添加到其中：
这是一个对数学元素进行如严格的物质实体般的运算的完美实例。在这一阶段，纯粹数学思想已经令人困惑地与苏美尔或其它任何材料符 的遗迹无关。人们可以轻易地判断一个现代十进制符 中的数字是否偶数甚至能否被5整除，但对于它是否素数则不易判定。欧几里得之后的一代代数学家，都惊叹于素数在自然序列中的出现所展现的明显的随机性。
观察、可控实验以及最近出现的素数构造，一种可行的用于安全用途的对大素数进行构建和识别的算法，已成为现代数论的标志。
I,2,2实数和“几何化的代数学”
整数源于计数，其它实数则源于涉及到诸如长度、面积和体积的几何学。毕达哥拉斯发现的正方形边长与对角线的不能通约性，同时展现了比“数字”更多的“数级”，这些数字的新层级日后发展为实数。
通过收集木棒和刻画刻痕进行标记的方式，是一种对标准化符 的有秩序的操作，它产生出整数的算术运算。实数的代数运算，则与时而出现的关于建筑选址、测量勾画中涉及的，对欧几里德理念中的圆、方或者角度相关的考察结果相关。
二十世纪的数学史专家认为古希腊数学中相当一部分可以阐述为“几何化的代数学”，一个实例是：将一个大正方形用两条平行于垂直的两边的线段分解为四个部分，其中两个部分还是正方形。这一图像可以被解读和表述为对（
）
这一代数恒等式的证明。
对一些与数学相关的思想历程，现代化视角提供了更普遍性的解读方式，下面是其中两条基本方式：
1）通过有意义的象征性的字符串，以及其明显的规范性的语法，进行在有限、离散的象征系统中意识处理，构造新的字符串。但选择哪个字符串更有益的法则则并不那么显著。（左脑，语言学和代数活动）
2）基于统计学的对过往经验、概率以及未来预期的隐性评估，对可视形象更多的潜意识操作，同时也是在对平衡性、和谐性和对称性进行评价。（右脑，图像艺术，音乐和几何学）
数学家进行研究的思维活动更多地是对这两种方式的精妙综合，这并非一项简单的工作，尤其是信息的估算过程差别巨大，例如
的象征符 进行的意识化处理和
的图像符 进行的潜意识处理。
也许正是由于这种差别带来的内在张力，人们趋向于情绪化的认知，正如冰冷的数值化的思维与带着温度的感知，纯粹逻辑和直觉的洞悉之间的对比。阅读David Mumford充满雄辩的美丽文字：在极端逻辑化的方式中，他运用已然完成的统计学准则——正如其它数学准则一样——使统计学的方式在逻辑之中得以保留。
回顾古希腊的实数和“几何化代数学”，其中我们看到，右脑对事物的处理方式，在晚期历史中，演化为被左脑支配的部分。或者，正如Mumford所示，现代代数学是一种几何学内在的针对事物行为的语法规则。
或许，古希腊的几何化思维方式，作为一种意识现象的延续，不仅在现代几何学而且在理论物理学中留下了痕迹。近几十年来，我们看到，从物理学到数学，如此充满活力的洞悉、猜想和精妙的结构，一种“物理数学”的方式已经诞生。基于费曼路径积分的创造性十足的应用，其中的理论化思维，那些诞生于以任何标准来看都并不牢固的数学基础之上的丰富成果，让我们深受震撼。这可被认为是一个对“几何化代数”的真实性的合理的附加标注，而并非仅仅是我们再次构建了它。
I,2,3欧拉恒等式：三个数的故事
也许，欧拉恒等式是数学世界中最美的一个单独的公式。
它非常不可思议地将我们在不同世代发现的3个常数联系起来（如果另外将-1计入则是4个），并创造出一种独特的动人光彩。
简而言之，π
是属于古希腊的遗产。即便它如一个实数一样存在，代表一段线段的长度或者一个正方形的表面积，如果不进行额外的思维运作，也依旧是难以捉摸的。“化圆为方”问题不仅是另一个几何难题，而且是一个没有确定结果的合法性测试。
相比而言，
则出现于西方数学已较为成熟，但还未特别发达的十七世纪中叶。它关联了两个方面，它是对乘法转化为加法的运算，是进行最优化求解的对数表的理论化副产品，同时也与“二次幂双曲线（squaring the hyperbole）”问题相关联。没有一种经典的几何构造能够引出e，并且e和π之间也并没有明显的关联。
最后是
，一个虚数，许多时代都被看做畸形，它被强行放置在卡尔达诺关于立方根求解的通用公式之中，当三个根都为实数时，方程运算的中间过程则需用到复数。
欧拉公式是关于“无限性”的非凡例证，因之欧拉（以及晚期的拉马努金）是伟大的数学技术员。事实上，
π
是级数
π
（
（
））（
）
！的特例，它还有一个更一般的表达式，
π
（
）
（
）。
我们对实数和有限性理论的更长远的进展，其背后有着欧拉或拉马努金对“无穷性”的运算非凡技巧。在G·哈代的描述中，试图深刻体会拉马努金的灵性数学，是一种徒劳。这个故事确实告诉我们关于逻辑和统计学的二分法的某些内容，但我甚至不能对此进行试探性的声明。
作为于此完全无关的进展，
π
（
）
（
）成为对20世纪物理学中最重要、最不可思议的成果——量子概率幅，量子波行为和量子干涉——的基本表达方式之一。
I,2,4康托尔集：一种基本的数学对象
康托尔的最初描述：
“原文为德语”
“对于任何的M的集和，通过它进行一个整体的定义，在我们的思维中，将每个独特的m作为其中元素。”
德语语法允许康托尔将这一结构理解为：
“原文为德语”
思考这一最初的定义，我们很难想象，在其意义如此贫乏的状态下，能够产生怎样的数学思想或思维运动。事实上，正是这种精确和简约，使得康托尔能够发现“对角线证明”，将无穷作为一种物理实体进行比较，并发现实数集的确大于整数集。
同时，康托尔的灵感为20世纪诸多的数学成果奠定基础，它的结论不仅被逻辑学家们激烈争论，也以集合论及其继承者范畴论之名，成为一项伟大的联合工程。
I,2,5“所有男人都不能永生，凯是男人……”从三段论，到软件
亚里士多德创造了逻辑演绎的基本形式和基础法则。人们很早便领会到它与基础算数之间的类比，但其精确化则发生在晚期，这一发展历程中，布尔（Boole）的工作应获赞赏。但对于二者之间的等级关系，科学哲学家们尚有异议，例如弗雷格则坚持认为算数是逻辑的一部分。
20世纪，这两大领域发生了复杂交融。30年代，哥德尔、塔斯基和丘奇发展的关于数学原理的模型已遥遥领先于关于有限文本的组合学。追溯至莱布尼茨的思想成为其中最重要的工具之一，它用于对所有整数文本进行可计算的处理，并允许用算术运算取代逻辑演绎。
塔斯基将真理理解为一种“在所有阐释中为真”的模型，并指出算数真理的集合不能被一种算数方程来表达。塔斯基真理符 的无限性，因其关联于逻辑函数中允许含有“全取”及“存在”的量词，因此可用于对涉及有关潜无穷层级证明的有限函数的描述。
哥德尔通过一种精妙的方式证明，通过任意的由有限公理系统和演绎规则得到的算数真理集合，无法具有与真函数集合的一致性。在两种证明之中，自我指涉都是一种基础的属性。
此外，哥德尔和塔斯基阐释了，基本的层级关系是语言和元语言的关系，以及，只有它们的相互关联而非隐含特性是客观存在的。通过逻辑可以描述算术，通过算术也可以谈论逻辑。对这两种层次的技术性结合，明确地展示了纯粹逻辑作为一种认知工具的内在限制，甚至只将其应用于纯粹逻辑本身时。
图灵和丘奇在同一时期对“可计算问题”的思想进行了分析，一开始它便体现出更多的“算术”性的意味。阿兰·图灵通过运用物理图景图灵机的判定步骤，取代了逻辑和计算问题在传统语言学中的内容，这一方法统领了塔斯基和哥德尔的论证。对于随后的技术发展，这是一项伟大的思维进步，它促成了可编程的电子计算机的出现。
理论上，丘奇和图灵发现对于通用递归程序，或者说通用图灵机的可计算性，存在一个“最终”概念。与其说这一发现是一个数学定理，不如说它是“形而上学领域的物理性发现”，它并非因数学证明获得合理性，而是因一种事实，它来自于后继的所有为保留一种通向等价概念的非传统观念的尝试。（至少现代观念认为）这一发现的隐含部分，便是意识到可计算问题的正确定义中，包含不可计算的元素，它将不可避免：不能对递归函数进行一般性的全方位定义，并且也不能判定其何处可定义，何处不能。
计算机，如今的函数处理器，便是源于这些伟大洞见的技术性化身。
（未完待续）
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