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一、难题
历史课告诉我们说，人类经历过石器时代，青铜时代和铁器时代。有人把二战以后的时代称为高分子材料时代。高分子材料原本就存在于动植物体内，叫做天然高分子材料。天然的东西是好东西，但人类若只靠天来供应，就会坐吃山空。为了不坐吃山空，人类必须“替天行道”。结果，上世纪初研制出了人工合成高分子材料。
二战期间对合成高分子材料的需求，促使这种新兴材料在战后短短几十年间蓬勃发展起来。到了上世纪七十年代初，美国合成高分子的体积产量业已超过金属材料产量的总和。现如今，我们每天都和高分子材料形影不离。我们随身携带的手机，眼前的电脑、大厅里的电视机、旅游时用的照相机，哪样不使用塑料或橡胶之类的高分子材料？如果你乘坐汽车，那就等于是坐在一个塑料盒里(图1)。
图1:汽车
但材料只是材料，不是制品。材料和制品的关系是大理石和维纳斯雕像的关系。大理石变成维纳斯像的过程，叫做成型加工。要从高分子材料制造出各类用品，也要经过成型加工。
注塑成型(亦称注射成型)，就是常用的成型加工方法之一。在注塑加工中，高分子材料首先从固态熔融成为液态，在压力下流入冷模腔，在模腔冷却的作用下固化，然后脱离模腔，再经过一段时间在空气中冷却，这是因为，高分子材料是粘弹性材料，在充模和冷却过程中产生的内部应力只有一小部分松弛掉，大部分“冻结”或残余在模制品中，引起不均匀收缩和翘曲，致使制品的几何尺寸和形状不符合预设的要求。这相当于说，你本想塑造一个维纳斯，结果塑造成了胖大婶。
收缩和翘曲以及其它缺陷往往不可避免，但如同人的缺点，有轻有重，取决于材料、加工条件和模具设计等因素。如果可以在进入实际生产之前通过分析计算，预测出材料在整个加工过程中的变化，便有可能获得最优化的方案，把制品缺陷控制在可接受的范围内。
然而对注塑问题的严格分析是不容易实现的，一个原因是材料的流变特性非常复杂，除了前面提到的黏弹性外，许多实用的工业材料是半结晶高分子材料以及纤维增强复合材料，它们在细观上是非均匀材料。流动诱导的结晶度、晶体形态和纤维取向都对加工过程和产品性能有重要影响。
另一个原因是，在实际情况下，模腔的几何形状都十分复杂。想想你的照相机塑料外壳的结构，对模腔的几何形状的复杂性就可以有个大体的了解(图2)。
如果把注塑问题用“学术”一点的语言来表述的话，我们要分析的是这样一个问题：“粘弹性非均匀高分子材料在复杂流道中的非稳态、非等温流动及其固化成型过程，以及固化后在无外力约束状态下的形变”。
图2:照相机塑料外壳
二、初期工作
高分子材料流变学和其它相关理论的发展、以及电子计算机及数值计算方法的发展和应用，提供了对上述注塑问题进行CAE分析的可能性。所谓CAE，是计算机辅助工程( Computer Aided Engineering）的英文简称。
早期的工作可以追索到1960年Toor等人的尝试。他们用计算机求解了简单流道的充模流动问题。由于当时计算机硬件和软件条件的限制，在一台IBM702上完成一次简单的充模流动计算就要花费20小时。
后继的工作应该提到Barrie(1971), Kamal和Kenig(1972) 以及Williams和 Lord(1975)。这些都可称为前驱性工作。这些工作的重要贡献是不言而喻的，但离开广泛的实际应用还有相当一段距离。
美国麻省理工学院教授、著名有限元软件ADINA的创始人Bathe教授写过这样一段话：
“The development of reliable and optimal finite element techniques that will find wide use is most difficult. It is a lot easier to develop finite element methods that can solve specific problems and publish papers, when these methods have no chance of finding wide use. ”
大意是说：“开发可靠的和优化的而且可以广泛应用的有限元分析技术，是最困难的。而开发有限元法来解决某些特定问题，当这些方法无法广泛应用时，就用来发表论文，则容易得多。”
这段话也适用于注塑加工分析技术。应该说，上世纪60年代到70年代初的工作，还没有走出“解决某些特定问题”和“用来发表论文”的象牙塔。要创造能够通用于注塑加工的各种实际问题的分析技术，还要等待兼备理论知识、工程观念和商业胆略的人物的登场。这些人物是谁？他们是怎样完成这“最困难的”工作的？又是怎样互相竞争的？
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三、两位登山者和巨熊的寓言
Colin Austin先生喜欢对人讲一个寓言故事：
有两位朋友(为叙述方便我们称他们是S和T)结伴去登山，中途被一只巨熊挡住了去路。两人拔腿往回跑。跑了一会儿，T突然停住脚步，转身往巨熊所在的方向走去。S叫住他，问道：
“你想干什么呀？”
“我想，我没必要从巨熊身边跑开，”
T回答说，“现在我应该做的，是从你的身边跑开。”(图3)
图3:巨熊
这里的巨熊，可以用来比喻我们先前提到过的难题。这则寓言最浅显的意思是鼓励人们敢于挑战困难。我们还不妨把S解释为单纯做科学研究的人，把T解释为从事技术开发的人，这样，我们便从这段寓言中读出这样一层“科学哲学”的寓意：尽管一般来说，科学研究领先于技术开发，技术离不开科学，但在某些情况下，在科学研究落后于工业需求时，技术也可以直接去面对和解决难题。在科学技术史上，蒸汽机技术的成功领先于热力学的研究并推动了热力学理论的发展，便是一个先例。
那么，这位Colin Austin先生是谁呢？笔者曾在另一篇博文《书与人(1) ──几乎倾家荡产的成功》中介绍过，他就是世界上第一个注塑分析软件Moldflow的创始人，也就是说，他是故事中那位敢于挑战巨熊的登山者。
上世纪70年代，Colin是澳大利亚MRIT大学的讲师。在这之前，他有塑料加工工业的工作经历。据他自己说，他经常对着运转中的注塑机想：”What is happening inside that machine?” 这一想，始之以好奇，继之而来的便是困惑。没想到这小小的机器里面，隐藏着若干复杂的问题。正是：
人类识自然，
探索穹研。
花明柳暗别有天。
谲诡神奇满目是，
气象万千。
这半阙“浪淘沙”，是华罗庚所填，表达他对小小的蜂房结构所隐藏的奥秘的惊叹。我们也可借用来咏叹小小的注塑机里所隐藏的复杂问题，从而对Colin Austin先生面对的巨熊有所了解。
四、了解巨熊
注塑问题本身的复杂性可以概括为三项：(1)复杂的物理现象；(2)复杂的材料特性;(3)复杂的几何形状。
高分子材料加工过程中所涉及的物理问题可以图4看到，这是Kamal教授总结的。加工过程主要涉及流体动力学、传热和固化。由于高分子流动中的粘性生热是不可忽略的，还由于高分子熔体黏度对温度和形变率的依赖性，运动方程和能量方程是耦合的并且是高度非线性的。
固化动力学则还是一个尚待探讨的课题。流体的速度场、压力场、温度场、应力和应变场对被加工高分子材料的微观结构和形态有决定性影响，而材料的微观结构和形态反过来又影响了流动行为并决定了制品的力学性能。这些复杂的相互作用的机理都还不是十分清楚。
图4：高分子材料成型加工中的物理问题(M.R. Kamal)
先前谈到的注塑件的收缩和翘曲，是固化过程中形成的残余应力的结果。注塑件的残余应力有两类。一类来自充模流动产生的应力。在流动停止以后，由于粘弹性材料的松弛时间随温度降低而增长，应力没有完全松弛，便残存在注塑件里。这种应力相对较小，但对材性的各向异性有重要影响，而各向异性是引起翘曲的主要因素之一。
另一类残余应力称为热应力，是材料固化过程中冷却收缩倾向和模具的约束力两者相互作用的结果。热应力在厚度方向上的分布取决于不同位置上的材料在固化瞬间的所受的压力。注塑件收缩的程度主要受热应力的影响。精确计算残余应力的困难，来自材料性能的复杂性，因为应力和应变或应变率的关系，是通过材性联系起来的。
高分子材料的复杂性不但表现在弹性和粘性兼而有之，而且表现在某些立体结构规则的高分子链能够结晶，而又不象金属那样地完全结晶。其晶体结构的形态受温度历史和流动变形历史的影响。
图5显示了一个注塑样品的半厚度截面的结构。左边是靠近壁面的区域(表皮层)，充模时经历较强的剪切流动；右边是中心的区域(芯层)，经历的剪切校小。表皮层里形成了串晶结构，芯层则形成球晶结构。微观结构决定宏观特性，由此材料的复杂性可见一斑。而且，实际生产中还大量使用纤维增强复合材料，更让这复杂性雪上加霜。
图5:注塑样品截面微观结构
最后，模腔几何形状的复杂性，我们在看到图2时已经有些印象了。我们再用一个例子来说明复杂几何形状的流动带来的问题。充模流动实际上是一个有移动自由表面的流动。这个移动的自由表面也叫做流动前沿(the flow front)。从厚度剖面上看，流动前沿的特点，是中间层的流体分开流向壁面，称为喷泉流动(the fountain flow)，如图6所示。
图6:喷泉流动
喷泉流动是一种拉伸流动，会导致分子沿拉伸方向取向。在几何形状复杂的模流中，如果有多个入口，或者如果流体要绕过某个形成障碍物的结构，两个流动前沿就会在某个位置狭路相逢，形成所谓的熔接缝。由于上述的喷泉流动效应，高分子链平行排列在熔接面两侧。如果材料冷却太快，来不及让分子充分扩散到对侧，熔接缝处便成为机械强度弱的地方。
花钱买来的手机或儿童玩具一碰就断裂，肯定不是一件很开心的事。如能预先计算出在给定条件下熔接缝的位置和机械强度，就可以改进模具设计和加工条件来避免熔接缝出现在重要部位。这就要求复杂几何形状的模流分析达到足够高的精度。
如果说，复杂的物理现象和复杂的材料特性，还有许多科学研究者愿意去接受挑战，那么复杂几何形状的流动则是很多人避之唯恐不及的。查看当年的流体力学的学术刊物，绝大多数文章都局限于讨论二维平面流动或轴对称流动。即使有少量三维流动的研究，也刻意回避复杂的几何形状。任意复杂几何形状的三维流动问题，要获得解析解几乎没有可能。数值解呢，即使能够编出计算程序，当年的计算机的内存也满足不了运算的需要。
而且，巨熊所代表的困难还远不止这些，因为开发一个实用的工业软件，不是一个单纯的科学或技术问题。Colin Austin面对的巨大挑战，还包括资金的缺乏、说服世界接受新事物的困难、以及竞争对手的出现。这里边有些什么鲜为人知的故事？
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五、Colin Austin和Moldflow
学术界有一条座右铭：“publish or perish”──不发表，则作废。但Colin想做的是不论发表还是不发表都有用的工作。
在计算机的应用还不是十分广泛的年代，他就把目标锁定在研究开发一个可以真正应用于工业的注塑分析计算机软件。他相信这将引起传统工业技术的变革。当然，他也很清楚做这件事的困难和风险。他明白，如果不能全时间心无旁骛地投入，梦想就不可能在自己手上变成现实。(图7)
图7: Moldflow 创始人Colin Austin先生
上世纪70年代中期，世界上第一台个人电子计算机刚刚出现，其价格在澳大利亚相当于当时一座住宅平均价格的三分之一。Colin Austin抵押自家的住宅，贷款购买了一台昂贵的个人计算机。并且辞去RMIT大学的教职，走出了象牙塔，把全部时间和精力投入到这项风险极高的计划之中。
多年后Colin在一篇回忆往事的文章里感叹说：“如果说，世上有什么比当一个发明家更苦恼的，那就是当一个发明家的妻子。”想象得到，Colin抵押房产、辞去工作的举动让他的妻子多么担惊受怕，他们面对的不是什么“不发表，则作废”的问题，而是“不成功，则倾家”的危机了。
但他终于完成了世界上第一个注塑分析软件，给它命名为Moldflow。
在Moldflow诞生的年代，有限差分法是计算流体力学中占主导地位的数值方法。但差分法是借助直线正交 格对偏微分方程进行离散，用于复杂的几何外形时一般需要做坐标变换，将物理空间上的曲线形 格变换为计算空间的直线正交 格。变换后的方程通常比原方程更复杂，而且对不同外形需要做不同的变换。这些局限性使它不便于编制通用的模流分析的计算程序。但是一维的有限差分可以用于厚度方向上的温度分析和冷凝层的计算。
还有一种方法是边界元法，它适用各种复杂的几何外形，而且还有不需要内部单元的优点。可惜用这个方法求解非线性问题比较困难，因此只在金属模具的冷却分析中得到应用。金属模具的冷却分析是注塑分析中一个重要的环节，它为模流分析提供温度边界条件。
前景最被看好的是有限元法，其优点之一正是其非规则 格的灵活性。它是上世纪50年代从固体力学中发展起来的数值方法。上世纪60年代末期开始应用于牛顿流体动力学。流体力学计算与固体力学计算的主要区别在于非定常项和对流项的处理。
高分子熔体属于非牛顿流体，然而非牛顿流体的有限元法研究进展得更加缓慢，运行速度和收敛性都是当时困惑人们的问题。所以，虽然几年后有限元法成为Moldflow软件采用的最重要的计算方法，但在最初的Moldflow版本中并没有使用有限元法。
鉴于注塑制品绝大多数是薄壁结构，最初的Moldflow采用了一个称为展平法(layflat method)的简单技巧。首先把一个三维的薄壁结构展开成平面(可以想象把一个纸盒剪开铺平的情形)，并将充模流动分解成若干“流径”(flow path)，然后在各个流径上进行非定常流动分析。各个流径的流动阻力取决于流道几何形状和材料的黏度。由于黏度对形变率和温度的依赖性以及各流径之间的耦合关系，计算过程必须多次迭代。
所以，这个方法也称为耦合流径法(coupled-flow-path method)。这个方法首次解决了复杂几何形状的模流分析问题，但也失之过分粗糙。在Moldflow稍后的版本中，它已经被更精确的方法所取代。作为历史性资料，图8可以提示一些这个已过时的方法的思路。
图8：The layflat method
一个新技术，必须被市场和 会接受以后，才能成为创新。新技术被接受取决于很多因素，其中最重要的是看它能不能解决实践问题。为了让世界了解和接受Moldflow软件，Colin开始了说服世界之旅，亲自到几个工业比较发达的国家去举办技术 告会，其中使他最难忘的是在日本Osaka的经历。
在这之前他已经去过欧洲各国和美国，每场 告都引发大量的提问和热烈的讨论。可是在日本， 告会自始至终，全场听众鸦雀无声，这让Colin感到颇为失望。当他收拾东西准备离开会场时，抬起头来却发现，在讲台前，日本人排了一个长队，等待著和他交谈或提问。
在这队列中，有几位Hitachi的工程师，他们要求“试试”Colin的软件。他们给了Colin一些输入数据，Colin用这些数据现场为他们做了计算，把结果交给他们。Colin原以为这几位听众的目的就是看看他的现场演示，过后也就没再多想。没料到第二天上午，这几位工程师到宾馆去向他祝贺成功。说他们昨晚做了实际注塑试验，测量结果和计算结果的吻合令人非常满意。
几次类似的成功说服了世界。于是，Moldflow有了市场需求。1978年，以Moldflow命名的研究开发(R&D)公司在澳大利亚墨尔本成立。公司在全球招聘人才，继续对这个软件产品进行改进和开拓新的功能。
Colin Austin说过，创新有两个要素，一是知识和新概念，二是有待解决的问题。有些人不能创新，不是因为缺乏知识和新概念，而是因为不善于发现需要解决的问题。成为公司老板以后，他不再亲自一行行地编制程序了。他所做的是不断提出新概念和发现需要解决的新问题，制定新的研发方向。这些并非关着门想出来的，而是来自他对科技新成果的密切关注，也来自他与用户的鱼水关系。
Colin还有一个重要贡献，就是他很早就提出建立数据库的重要性。为此，他在Moldflow公司建立了实验室，实验室里有不同类型的注塑机和各种先进的实验仪器例如流变仪、PVT测量仪、DSC、以及测量模制品收缩的设备等等，还有世界各地的材料供应商提供的数以千计的各种品牌的工业实用材料。实验结果为Moldflow数据库提供了丰富的数据。
这些数据的主要用途有二：一是为软件中用到的数学模型提供所需的材料参数，二是用于验证计算结果(validation)。
时间在推移，Moldflow不可能永远只此一家、别无分店。竞争对手来了。
六、K.K. Wang和C-Mold
上世纪70年代。当澳大利亚墨尔本的Colin Austin在苦思冥想如何解决注塑难题的时后，在美国东北部一座叫做Ithaca的美丽的小城里，也有一个人在思考着和同样的问题。
这人就是康奈尔大学教授、美国科学院与美国工程院两院院士院士K.K.Wang(中文名王国金，有些资料上写作王国钦)。他领导了一个称为CIMP的科研计划。CIMP的全称是Cornell Injection Molding Program，即康奈尔注塑研究计划。
在王国金教授领导的CIMP团队里，还有一个美国两院院士，叫做沈申甫(S.F. Shen)。沈教授从1974到1988年在CIMP工作了14年。1980年他和CIMP的同事Hieber博士在非牛顿流体力学杂志上发表了一篇用有限元法和有限差分法模拟非牛顿流体充模流动的文章，是这个领域里最有影响力的文献之一。
1986年，王国金教授和他的学生王文伟(V.W. Wang)博士成立了AC-Technology 公司，后来改名C-Mold。C-Mold公司成立的目的是把CIMP的研究成果商品化。C-Mold的商品软件，成了国际市场上知名度和销售量仅次于Moldflow的注塑CAE软件。图9是王国金教授在1991年C-Mold用户会议上的留影。
图9：王国金教授(前右3)在1991年C-Mold用户会议上的留影。
与此同时，在上世纪80年代结束之前，还有下面几个公司也研发了自己的注塑CAE软件：
高科技软件产品之间，除了竞争，也有合作。例如SDRC在1985年推出的模具冷却分析软件POLYCOOL2.1，和Moldflow有接口，可以读入Moldflow模流分析得到的温度分布的结果。无论是竞争还是合作，都促进了技术的进步，当然也难免引发一些纠纷。
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七、发展中的技术
到了上世纪90年代，除了Moldflow和C-Mold以及上次提到过的几家公司外，还有日本的Timon和台湾的CoreTech(科盛科技)也进入了竞争者的行列。
竞争是技术变革和进展的催化剂。在从上世纪80年代开始到现在的竞争中，在注塑分析软件领域里，无论是数值计算技术的开发，还是数学模型的改进，都有太多可 以回顾的。下面只挑几个例子来说说：
(一) 2.5维、“双面流”和三维
前面提到，早年由于收到计算机内存的限制，实用的三维模流数值计算不可能实现。 初期的软件曾采用layflat方法模拟了复杂几何形状的三维薄壁制品的注塑过程。这 种方法后来被“2.5维中面流”(2.5D midplane)技术取而代之了。
这个2.5维中面流方法的理论基础是Hele-Shaw(或称广义的Hele-Shaw)方程。该理论 利用注塑模腔在厚度方向上狭窄的特征，忽略了压力在厚度方向上的梯度，从而把质量守恒和动量守恒方程简化成一个二维的压力方程。至于能量守恒方程，沿厚度 方向的热对流效应和流动平面内的热传导可以忽略，但仍然是三维的方程。
这样， 模流分析归结为求解耦合的二维压力场和三维温度场的问题，同行圈子里简称之为“2.5维”问题。当然，这不是一个有严格数学意义的命名。2.5维问题中的压力方 程可以用有限元法求解，温度场可用沿厚度方向的有限差分法来求解。
为了用有限元法来解该Hele-Shaw方程，三维模腔被简化为“中面”，有限元 格便划分在中面上(例如，图10)。
图10：中面有限元 格
2.5维中面流方法使用内存少，计算速度快，所以至今依然是注塑分析应用最广泛的 技术。但是它也有局限性。在某些流动区域，例如流道横截面突然变化的地方，或 者在流动前沿的喷泉流动区，Hele-Shaw的简化假设是不成立的，因此会造成一定的 误差，有时需要通过一些特殊处理来弥补。最大的问题在于构建中面 格是一件困难的工作。
几年来，伴随着CAE软件的发展，CAD(计算机辅助设计)软件也迅速地发 展起来。CAD软件能够绘制在形状和尺寸上精确逼近实物的立体几何模型，也提供了 在这实体模型上自动生成三维的有限元 格的功能。然而要将三维的有限元 格进一步自动转化成中面 格，虽然也能实现，却不是对任意几何形状都有效，往往还 会留下一些细节的缺陷，需要人工修补。
要到山的另一边去，又不想翻山越岭，怎么办？两种办法。一种是愚公的办法，挖 山不止，即使不能把山挖掉，至少也挖出个隧道，崎岖变通途。另一种是智叟的办法，绕开大山，另辟蹊径。
面对构建中面 格的困难，研究和开发者们既用了愚公的办法，也用了智叟的办法。愚公的办法就是致力于研究、开发和改进中面自动生成技术。这种努力至今还在进 行着。智叟的办法则是设法避免使用中面。一个成功的例子便是Moldflow的专利技术──1997年开发的“双面流”有限元模流分析技术(Dual Domain Finite Element Analysis)。
它用的是三维实体的表面 格(因为借助于CAD，构建三维实体的表面 格比构建中面 格容易得多)。薄壁结构表面上的单元可以分为“上表面单元”、“下表面单元”和“边沿单元”。上、下表面代替了中面用于有限元分析。在模拟 过程中，好像是上下两表面的塑料熔体同时并且协调地流动， 如图11所示。
图11：双面流模型
因为双面流分析所用的 格在总体外观上很接近三维实体的形状，所以有些人以为 双面流的模拟能够比中面流的模拟更好地预测三维流动的效应。这是一个误解。实 际上，双面流分析的理论基础也是Hele-Shaw方程，所依赖的假设和中面流分析方法 没有什么不同，本质上仍属于2.5维方法。
双面流分析的预测精度最多能达到中面流 分析的水平，如果不是更差的话。双面流分析的好处，仅仅在于避开了使用中面 格的困难。它的研究和开发，主要是由工业界用户的需求推动的。这一技术不太可 能在纯学术研究的环境中产生。同样是为了满足用户需求，在推出双面流技术的翌年，Moldflow又将此技术扩展到收缩和翘曲分析。
到了90年代末，随着计算机的发展和进步，三维模流分析开始成为研究热点。三维模流分析与2.5维分析的主要区别有二：(1)使用三维立体 格；(2)不再使用Hele-Shaw近似。一些在2.5维分析中不能模拟的的充模过程中的流动效应，如横截面突然变化出的拉伸流动效应， 或熔体前沿的喷泉效应等，在三维分析中都有可能正确地模拟。
但三维分析的技术难点颇多。大多数模制品的厚度比其它两个方向的尺寸小的多，在厚度方向上的温度梯度很大，为了正确计算温度场，厚度方向上的单元就要加密。
这样一来，如果在流向上采用较为稀疏的 格，就必须使用大长宽比的扁长单元， 这种单元的离散误差较大，影响计算精度。如果采用长宽比接近1的单元，则总体单元数剧增，导致计算量巨大、计算时间太长。这是三维注塑流动模拟软件至今尚待改进的问题，有一些方法，例如algebraic multigrid (AMG) 方法，已经被用于这个目的。
除了有限元法，有限体积法对三维模流分析也是一个不坏的选择。有限体积法比较节省内存和CPU时间。使用有限体积法的较为成功的尝试以CoreTech的软件产品Moldex3D为代表。
以上是开发数值计算技术的例子，下面以纤维取向模型为例说说数学模型方面的发展。
(二) 纤维取向的模拟
前面我们谈到材料的复杂性时说过，实际生产中大量使用纤维增强复合材料，更增添了材料的复杂性。最常用的纤维是圆柱状的玻璃纤维，它们和高分子材料熔体组成了纤维悬浮体系。纤维悬浮体系的流动会引起纤维取向，导致注塑制品弹性模量和热膨胀系数的各向异性，并因产生比较严重的不均匀收缩和翘曲。
曾泳春老师的一篇文章《轻舞飞扬──纤维与高速气流的亲密接触》。曾老师研究的是柔软的棉纤维在气流中的运动，用“时而轻舞飞扬，时而妖娆纠结”来形容，真是唯妙唯肖。
刚硬的短玻璃纤维在粘稠的高分子熔体中的运动，有旋转，却不飞扬，也纠结，稍逊妖娆。玻璃纤维运动取决于两项外力的作用，一是总体流动流场的作用，二是其它纤维运动的干扰。前者是确定性的规则运动，后者则很不规则，可类比布朗运动，用随机过程来描述。模拟短玻璃纤维的运动，最关心的结果是它们的取向。
大约和爱因斯坦同一时代，一位姓Langevin的科学家发表了一个随机过程的方程来描述布朗颗粒的运动。还有一个姓Planck的，发表了一个构象分布函数扩散方程，称为Fokker-Planck方程。
如果我们用单位矢量来表达纤维的方向，称为取向矢量，通过对悬浮在流体中的纤维的受力分析，可以写出以取向矢量为变量的Langevin方程，再与取向分布函数扩散方程(即Fokker-Planck方程)结合，可推导出以“取向张量”为变量的方程。取向张量定义为取向矢量的并积按分布函数的统计平均值。由于奇数阶的统计平均值为零，所以只有偶数阶的取向张量才有意义，通常用到二阶张量和四阶张量。
上世纪80年代初，Tucker和他的学生用上述取向张量方程来模拟纤维的取向。这方程中有一个参数叫旋转扩散系数。他们假设旋转扩散系数正比于流体的应变速率张量的模量，并将比例常数定义为纤维相互作用系数。这个结果称为Folgar-Tucker模型，在注塑CAE软件中得到广泛应用。
Folgar-Tucker模型以二阶取向张量为基本变量，但方程中也出现四阶取向张量。必须把四阶取向张量用二阶取向张量来近似表达，方程才能求解。这样的表达式被称为“封闭近似”（closure approximations）。
二阶取向张量可以很形象地用一个取向椭球来表示纤维在各个方向上取向的几率。在注塑制品上表达纤维取向分布的计算结果，通常把取向椭球投影到流动平面上， 成为椭圆，如图12。
图12：纤维取向分布。(a)中间层； (b)近壁层
含有纤维的复合材料是典型的非均匀材料。知道了模制品中纤维的取向分布以及玻璃纤维和高分子材料各自的性质，运用非均匀材料均匀化的理论，例如Mori-Tanaka模型，就可以计算出材料在整体上的有效物理性能。
Folgar-Tucker模型在注塑加工分析中的应用是比较成功的，但还不能完全满足解决实际问题需求。对纤维取向模型的改进一直是注塑领域里关注的问题，包括：
高科技公司之间的竞争促进技术的发展，这是积极的一面。但竞争毕竟不完全等同于竞赛，在某种意义上也是一场试图吞并对手的战争。想起一出电视剧歌曲里所唱的：“兴亡谁人定，盛衰岂无凭？”关于当年这场“战争”的结果，留待下次再谈。
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八、竞争的结束和继续
2000年4月13日（美东时间），当时世界上最大的两家注塑分析软件研发公司Moldflow和C-Mold同时发布了一个消息：Moldflow收购了C-Mold。
无心之中促成了这件事的是一位工程技术人员，我们就称他为Ａ博士吧。Ａ君1979年在前苏联获得应用数学和力学硕士学位，1982年获得前苏联流体力学以及气体和等离子体动力学博士学位。曾在前苏联科学院以及意大利和美国的一些大学和研究中 心从事研究工作。他在1996年受聘于Moldflow，参与三维模流分析技术的研究和开发。
工作了两年以后，A博士辞去了工作。不久后，有人在C-Mold 站上发现，他在C-Mold担任三维模流分析研发项目的领头人。此事惊动了Moldflow的上层，因为A博士了解Moldflow同类技术的细节，意味着本公司的“工业机密”已被竞争对手获得。
Moldflow公司迅速采取法律行动，将C-Mold公司告上美国法庭，指控对方利用原告方的“工业机密”来达到竞争的目的。C-Mold则反诉Moldflow试图“垄断”。这种官司打起来，有如武侠小说中两大高手比拼内功，双方头顶上冒白烟，消耗的是体内的真气。而笑不合嘴的则是双方的律师团，大把银子入库。官司持续了近两年，终于出现了我们开头所说的结果。
Moldflow收购了C-Mold以后，留下了C-Mold几乎全部技术力量，并立即着手把C-MOLD软件融合到Moldflow的软件产品中，称为Synergy计划。2001年推出了融合后的软件版本Moldflow Plastics Insight 3.0 (MPI 3.0)。这是一项艰难的工作。
单从产品的质量上说，MPI 3.0有很多需要修正和改进之处，但它为日后的继续改进和发展提供了一个框架。2008年Moldflow公司被计算机辅助设计(CAD)软件公司Autodesk收购，结束了它作为一个独立公司的历史，而Moldflow软件在新的环境中继续更新和发展。
在Moldflow和C-Mold龙争虎斗之时，那些悄悄兴起的小公司在做什么呢？它们在采用什么策略面对Moldflow和C-Mold以及后来的“Moldflow＋C-Mold”这样强大的对手呢？
伊索寓言有一则青蛙和牛比大的故事，故事中的青蛙鼓胀了肚皮也赢不了。钱钟书先生给青蛙提了个建议，说你不应该和牛比胖大，你应该和牛比娇小。
避开对方的强项，发展自己的特色，这是竞争中弱小的一方应该考虑的策略。Timon，Transvalor和Core Tech这三家公司，便是采用这样的策略的例子。
尽管2.5D技术是模流分析的主流技术，但小公司要在这方面和Moldflow及C-Mold争锋，尤其是与兼并了C-Mold之后的Moldflow争锋，是很难有胜算的。所以，Timon，Transvalor和Core Tech把发展方向径直瞄准了三维分析。因为在这个方面，它们有捷足先登的机会，或至少可以与对手在从同一起跑线上比试高低。同是三维分析，它们还可以施展些与众不同的招数。
Timon公司在1996年就推出了3D-Timon软件。枪在Moldflow的三维分析软件之先。3D-Timon软件用渗流的Darcy定律来近似描述三维充模流动，在理论上是不严格的，但很节省内存和计算时间。2003年，3D-Timon开发了模拟双折射率的模块，成为世界上第一个可以预测模塑制品的光学性能的商品软件。
Transvalor是一家法国公司，上世纪90年代末期该公司将CEMEF大学的研究成果商品化，推出名叫Rem3D的三维有限元注塑分析软件。该软件使用Level Set 技术来追踪流动前沿，并采用全自动自适应四面体 格划分(fully automatic adaptive tetrahedral meshing)技术自动细化需要高精度计算的区域的 格。这是一个技术水平较高的软件。
比方说，可以将多层楔形单元或砖形单元安排在靠近壁面的区域，而在中心层使用比较大的四面体单元。这样，在热传导计算中可以提高厚度方向上温度梯度的计算精度，同时减小计算代价。Moldex3D也正在积极地开拓国际市场。
图13：Moldex3D欧洲不同形状的单元
(九) 结束语
最近在和前同事Peter Kennedy合写一点与注塑分析有关的东西，讨论中闲聊到一些圈子里的历史掌故。这段“历史”并不长，其中还有些是亲见亲闻的，因此便想要把它用文字记录下来。这便是写此文的初衷。
古人说，学然后知不足。做研究也是“学”。科学研究让我们知道了很多，其中最重要的，是让我们更清晰地知道自己不知道什么。即使我们局限在一个范围非常狭小的领域，也是如此。
每当回顾注塑分析软件发展的历史时，让我惊讶的，不是我们已经解决了多少问题，而是随着一些问题的解决，需要进一步探索和解决的问题更多了。在拙著(博主与Roger Tanner和X.-J. Fan合著的)“Injection Molding: Integration of Theory and Modeling Methods”的结尾，有这样一段话：
We believe that further investigations remain to be done; improvements in the material deions (including commercially feasible methods of material characterization) are needed and, to a lesser extent perhaps, improvements in computational methods (including meshless methods) would be welcome.A longer goal that needs to be worked towards is the quantitative prediction of material structure and properties after molding. Whilst some progress has been made towards this end, we believe that many interesting problems and investigations lie ahead.
这里，我们把需要进一步研究的问题归结为三个方面。
首先，我们需要有更好的理论(包括更先进而且实用的材料表征技术)来描述材料的特性。例如，对注塑分析来说，在非等温流动过程中材料固化的机理及其定量描述，目前还欠缺统一的理论。
其次，数值计算方法尚有待发展。除了有限元、有限体积和有限差分这些传统的 格方法外，还包括近年来有人在研究的无 格法。
第三，注塑产品在使用中表现的机械强度和热学性能等，是由在注塑加工中形成的材料内部结构决定的。预测注塑后的材料内部微观结构和材料性能，是未来注塑分析的一个目标。
这篇“史话”到了该结束的时候了，但创新者们还在用自己的聪明、才智和胆略创造着新的史话，那是不会结束的。从这个意义上说，任何结束语都是一段开场白。
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