一次同余方程组

上一期深入浅出地讲述了中国剩余定理。玻璃球的实例用语言叙述很简单，数学家提升了它的理论高度，把它归结为一次同余方程的求解问题。上一期我还总结出了计算公式。本期在这个公式的基础上利用EXCEL进行计算，很简单方便。涉及EXCEL中的内置函数——取整函数 INT( )。我们会把公式埋入EXCEL单元格中。本期其实是教您把数学计算与计算机软件操作结合起来。以前我关注数学本身更多一些，今天讲一讲EXCEL软件这个最常用的软件，其中的内置公式包括很多极为有用的数学函数，我们应该学会使用。

要解决的问题是：有一堆玻璃球，三个三个数余P个（ P = 0，1，2），五个五个数余Q个（Q = 0，1，2，3，4），七个七个数余R个（R = 0，1，2，3，4，5，6）。问满足要求的最少玻璃球数是多少?

我设计的EXCEL的界面如下，其中N代表所求玻璃球数量：

前3行是公式本身。第4行是变量。第5行及以后是自变量和因变量的值。上图中就是上一期所举例子。如果我在第6行的A、B、C列中再输入三个余数，并把在D5，E5和F5中所埋公式拖动到以下的行中，则EXCEL就会自动计算出结果。下面具体分析一下这个EXCEL是怎么设计出来的。

上图中，我在EXCEL中选中了D5单元格（左上角有显示）。D5单元格中显示的是计算结果，而它所埋藏的公式在图的最上边缘的fx后有给出。即

=70*A5+21*B5+15*C5

再看表中k的值“1“（E5单元格）是什么意思。

上图中，在E5单元格中埋入了公式

=INT( (D5-1) /105)

它的意思是用D5减去1，再除以105，然后取整（INT为取整内置函数），所得就是后面要从D5中减去105的次数。其中的减1是因为我们必须规定玻璃球的数量不能为0，因为总要有球，哪怕只有一个。减1保证了只要玻璃球的数量大于0，我们用上述公式所求得的N值就一定是符合要求的最小数量。

下面再来看一看值等于88的单元格F5中埋入了什么公式。

F5中埋藏的公式如下：

=D5-E5*105

说明：上面的“减1”使得三个余数都为0的情况不是一个球都没有，而是105个球。我们上面的设计已经考虑到了这一点。具体来说，在三个余数都为0时，70×A5+21×B5+15×C5的值等于0，但这时的k值（单元格E5的值）等于 INT((0-1)/105，即(-1/105)取整，得 -1，即E5 = -1。这时的E5为负值，从而由所埋公式=D5-E5*105可以看出，减去-1个105就变为加上1个正的105，这样就把没有球的情况（三个余数都为0）排除，使得最小的可能值为105。105是除以3、5、7余数都为0的最小正整数。

P、Q、R三个余数一共有3×5×7=105种组合方式。这105种不同方式对应用于1到105这105个正整数。具体见文后。

若把减1变为减7，则不足7个球的情况，即没有球和只有1、2、3、4、5、6个球的情况都不出现。最小玻璃球数就是7个。这应该是更加符合实际情况的，我们七个七个数球，总应该有7个以上的球吧。

本题只用到了一个内置函数INT即取整函数。EXCEL的内置函数非常多，非常有用。埋公式也是一种非常重要的计算方法。

附表：