期权价格与剩余时间及行权价格的关系

期权价格与剩余时间及行权价格的关系

于德浩

2020.9.16

先看一下市场数据。当前标的正股50ETF 股价是3.367 元。平值期权购10 月3400 ，剩余42 天，价格是0.0767 元。电脑端行情软件显示，历史波动率28.36% ，（估计是最近40 个交易日？）；隐含波动率18.38% ，这是根据BS 期权定价公式反推的。Delta=0.499 ，Gamma=1.217 ，Vega=0.461 ，Rho=0.183 ，Theta=-0.617 ，理论价格=0.1227 。

其他信息，期权类别认购欧式；行权价3.4000 ；合约单位10000 份；上市日期2020-08-27 ，到期日期2020-10-28 。内在价值0 ，时间价值0.0767 元，溢价率% 3.26 ；杠杆比率43.90 。计算溢价率= （3.4-3.367+0.0767 ）/3.367=0.03258 。计算杠杆比率3.367/0.0767=43.8983 。计算真实杠杆率= 杠杆比率*Delta=43.9*0.4942=21.7 。

再看一下，手机端软件显示。购3400 ，剩余42 天，价格0.0767 元。隐含波动率0.1877 ，时间价值0.0767 ，杠杆率43.90 ，真实杠杆率21.69 。Delta=0.4942 ，Gamma=1.2069 ，Vega=0.4610 ，Rho=0.1817 ，Theta=-0.6056 。与电脑端软件一致。

再对比一下认沽期权。平值沽10 月3300 ，剩余42 天，价格是0.0757 元/ 份。电脑端软件，历史波动率28.36% ，隐含波动率24.64% （这比认购要贵不少）。Delta=-0.381 ，Gamma=1.163 ，Vega=0.440 ，Rho=-0.162 ，Theta=-0.475 ，理论价格=0.0920 。

我们可以用Excel 软件统计50ETF 股票价格最近40 个交易日的收盘日涨幅平均值及标准差，2020.7.22-9.15 日涨幅平均值是+0.035% ，日涨幅的标准差1.187% ；年化波动率就是256^0.5*1.187%=18.99% 。

一般统计2020.8.19-9.15 最近20 个交易日，日涨幅平均值是-0.0625% ，日涨幅标准差是1.087% ；最近20 日年化波动率就是16*1.087%=17.39% 。这与当前期权的隐含波动率0.19 差不多，与《爱期权》的0.16 也差不多。我真不知道电脑端软件的0.28 历史波动率是怎么统计的。客观的说，当前的波动率在年化20% 附近，属于一般正常，不算高估也不算低估。

期权价格与剩余时间的关系是与t^0.5 成正比。这个好理解，就是整体的方差是局部方差之和。比方说，剩余42 天的3400 平值认购期权价格是0.0767 元，那么可以推出剩余98 天的理论价格应该是0.0767* （98/42 ）^0.5=0.1172 元；实际价格是0.1319 元，大约有的误差。

平值期权的价格与标的正股的占比x ，大约是一个周期的波动率一半，即x=0.5A 。比方说，股价一个月的波动率是6% ，当前股价是3.0 元，那么剩余30 天的平值期权的价格x=0.5*6%=3% ，即大约0.09 元/ 份。这里，平值认购期权和认沽期权的价格是对称相等的。

这里有一个简单模型。假设股价末态只有两个量子态，要么上涨到处，要么下跌到处，各有概率。盈亏平衡原则，对于认购期权卖方来言，先得到x 的权利金盈利，他有50% 的概率在+1X 处亏损A ，所以x=0.5A 。对于买方来言，他有50% 的概率亏损x ，有50% 概率盈利（A-x ），即0.5x=0.5 （A-x ），同样可以解得x=0.5A 。

在当前实际案例，正股价格是3.367 元，购3400 可看成是平值认购，实际价格是0.0767 元；沽3300 可看成是平值认沽期权，实际价格是0.0757 元。两者价格几乎相等。这个理论计算过程是，最近20 个交易日的日涨幅标准差是1.087% ，那么剩余42 天的一个周期的标准差大约是（42-2*6 ）^0.5*1.087%=6% ，那么平值行权价=3.367 的价格应该是3.367*0.5*6%=0.1 元。而标准化合约购3400 ，属于相对虚值，价格大约要低0.033-0.016 元，因此，理论估计价大约是0.1-0.025=0.075 元。这与实际价格0.0767 差不多。

对于标准差化沽3300 ，这也属于相对虚值认沽期权，价格大约要低0.067-0.034 元，理论估计大约是0.1-0.05=0.05 元。而实际认沽价格是0.0757 元，这应该说明认沽期权价格偏贵，可能与最近市场行情弱势有关。

我们观察一下剩余98 天的认购期权，购3300 实值期权价格是0.1770 ，当行权价减少0.1 元时，购3400 的价格是0.1319 ，大约仅减少了1/2 约0.05 元。虚值购3500 价格是0.0963 元，大约只降低了0.035 元，只减少了1/3 ；而虚值3600 价格是0.0712 元，降低了0.025 元，约1/4 。也就是说，虚值认购期权的性价比实际是更小的。人们应该理性购买平值或实值期权，即使看涨行情。

在市场中性条件假设下，股价上涨到的概率与下跌到的概率都是对称相等的，按照正态分布，就是各16% 的概率，两者之比是1:1 ，所以，简化到仅2 个量子态时，就是各的概率。

而当要去购买虚值期权时，这两个量子态就变成-0.5X 与+1.5X ，这就是0.31/0.07=4.4/1 ，也就是行权的胜率大约只有0.07/0.38=30% 。这时对于买方的盈亏平衡方程就是0.82x=0.18 （1.5A-x ），这就可以解得x=0.27A 。就是说，虚一认购期权大约是平值认购期权价格的55% 。举例，平值购3000 ，剩余30 天，月波动率6% 的价格是0.09 元；那么虚一购3100 的价格大约是0.09*0.55=0.0495 元。这就是我们看到的，行权价格增加0.1 元，而虚值期权价格仅减少了约一半0.05 元。

再看虚二认购3200 期权价格会是多少。此时两个简化的量子态就是0X 与，概率比是0.5/0.023=22 倍。0.956x=0.044 （2A-x ），解得x=0.088A 。这个理论价格就是3.0*0.088*6%=0.0158 元。就是说，行权价再提升0.1 元时，虚值认购期权价格降低了0.0495-0.0158=0.03 元，降低了1/3 。

再看看深度虚值3300 的价格计算。这两个简化的量子态时+0.5X 与+2.5X ，行权的胜率仅仅是0.0062/ （0.0062+0.6915 ）=0.0089 。盈亏方程0.9911x=0.0089 （2.5A-x ），解得x=0.022 。剩余30 天的深度虚值期权的价格是3.0*0.022*6%=0.0040 。行权价再提升0.1 元，价格降低0.0158-0.0040=0.0118 元，仅降低12% ，比实际的1/4 还要低。这是因为，股价日涨幅分布不是严格的正态分布，有翘尾效应。

从上面的计算来看，如果是看涨行情，也应该买入平值认购期权，不能买虚值期权。因为，深度虚值期权的胜率（行权成功率）很低。只是我们容易被表象迷惑，当股价某天大幅上涨时，虚值期权的跟随涨幅会更大，就诱使我们去买虚值期权，“好不容易猜对一次，为什么只赚平值的+30% ，而不是虚值的+90% 呢？”我们更要知道，当标的正股下跌或震荡不涨时，虚值期权的跌幅也更大啊。

当前，50ETF 股价是3.359 元，剩余98 天的平值认购3400 期权价格是0.1212 元，虚值3700 的价格是0.0488 元。假设股价3 个月后大涨+30% ，价格涨为4.3 元，那么平值期权就是0.9/0.1212=7 倍收益；虚值期权是0.6/0.05=12 倍收益。可是，如果股价只是上涨了一半预期即0.45 元，那么平值期权是0.45/0.1212=4 倍，而虚值只是0.15/0.05=3 倍收益。从最后的长远的收益性价比看，其实中长期平值认购期权要更好。其实倘若能够在7 倍获利时止盈，也已经很好了。